Resolva pelo método de separação de variáveis:
lut=k ux x u(0, t)=0, u(L, t)=0 u(x, 0)=x

Passo 1

O enunciado pede resolver a equação do calor unidimensional
ut=k,uxx,
para 0<x<L, t>0, com condições de contorno homogêneas
;u(0,t)=0, ;u(L,t)=0,
e condição inicial
;u(x,0)=x.
Vamos usar o método de separação de variáveis e depois expandir a condição inicial em série de senos.

Passo 2

Assumimos solução do tipo
;u(x,t)=X(x),T(t).
Substituindo em ut=k,uxx e dividindo por k,X,T obtemos
1k,T'(t)T(t)=X''(x)X(x)=-lambda
Isto gera dois problemas de autovalor:
X''+lambda X=0, X(0)=0,;X(L)=0,
T'+klambda,T=0

Passo 3

O problema em X só admite autovalores positivos
lambdan=(npi/L)^2, n=1,2,dots,
com autofunções
;Xn(x)=sinl(npi x/Lr).
Para cada lambdan, a parte temporal é
Tn(t)=An,e^-klambdan,t =An,exp!l(-k(npi/L)^2,tr)

Passo 4

Como o problema é linear, a solução geral é superposição:
u(x,t) =sumn=1^inftyCn,sin!l(npi x/Lr), exp!l(-k(npi/L)^2,tr)

Passo 5

A condição inicial ;u(x,0)=x impõe
x=sumn=1^inftyCn,sin!l(npi x/Lr)
Os coeficientes de Fourier-seno são
Cn=2Lintegral0^Lx,sin!l(npi x/Lr),dx
Fazendo integração por partes, com
u=x, dv=sin(npi x/L),dx,
gives
integral0^Lx,sin!l(npi x/Lr),dx =[-L,xnpicos!l(npi x/Lr) +L^2(npi)^2sin!l(npi x/Lr)]0^L =(-1)^n+1L^2npi
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Cn =2L,(-1)^n+1L^2npi =2L,(-1)^n+1npi

Resposta

boxed u(x,t) =sumn=1^infty 2L,(-1)^n+1npi ,sin!l(tfracnpi xLr) exp!l(-k,l(tfracnpiLr)^2tr)

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