O enunciado pede resolver a equação do calor unidimensional
ut=k,uxx,
para 0<x<L, t>0, com condições de contorno homogêneas ;u(0,t)=0, ;u(L,t)=0,
e condição inicial ;u(x,0)=x.
Vamos usar o método de separação de variáveis e depois expandir a condição inicial em série de senos.
Passo 2
Assumimos solução do tipo ;u(x,t)=X(x),T(t).
Substituindo em ut=k,uxx e dividindo por k,X,T obtemos
1k,T'(t)T(t)=X''(x)X(x)=-lambda
Isto gera dois problemas de autovalor:
X''+lambda X=0, X(0)=0,;X(L)=0,
T'+klambda,T=0
Passo 3
O problema em X só admite autovalores positivos lambdan=(npi/L)^2, n=1,2,dots,
com autofunções ;Xn(x)=sinl(npi x/Lr).
Para cada lambdan, a parte temporal é
Tn(t)=An,e^-klambdan,t =An,exp!l(-k(npi/L)^2,tr)
Passo 4
Como o problema é linear, a solução geral é superposição: