Determine os pontos críticos das funções abaixo:
y=\left(3 x^{2}-4 x\right)\left(6 x+3 x^{2}\right)

Passo 1

O enunciado dá a função
y=\left(3 x^{2}-4 x\right)\left(6 x+3 x^{2}\right)
e pede para determinar os pontos críticos dessa função.
Informações relevantes: a função está dada explicitamente para todo x\in\mathbb{R}. Um “ponto crítico” é qualquer x onde a derivada existe e é zero, ou onde a derivada não existe. A resolução começa por calcular a derivada y' e então resolver y'=0 (ou verificar pontos onde y' não exista).

Passo 2

O que é derivada e por que ela nos dá pontos críticos (aula curta e direta).
A derivada y'(x) mede a inclinação da curva y(x). Pontos críticos são valores de x onde a inclinação é zero (tangente horizontal) ou onde a derivada não está definida. Para funções polinomiais (ou produto de polinômios) a derivada existe em todo lugar, então aqui vamos achar os x tais que y'(x)=0.
Regras que vamos usar (explicadas):
  • Regra do produto para duas funções: se u(x) e v(x) são diferenciáveis, então
(uv)' = u'v + uv'.
Significado: a derivada do produto é a soma do produto da derivada do primeiro pelo segundo mais o produto do primeiro pela derivada do segundo.
  • Regra do produto para três fatores: se A,B,C são diferenciáveis,
(ABC)' = A'BC + AB'C + ABC'.
  • Regra da potência (power rule): para x^n,
\frac{d}{dx}x^n = n x^{n-1}.
Vou aplicar essas regras passo a passo.

Passo 3

Primeiro simplificar e fatorar a função para tornar as contas mais limpas. Fatorei cada fator dado:
3x^{2}-4x = x(3x-4),
6x+3x^{2} = 3x(x+2).
Multiplicando,
y = \left[x(3x-4)\right]\left[3x(x+2)\right] = 3x^{2}(3x-4)(x+2).
Fazer essa fatoração ajuda bastante porque nos deixa com fatores simples para derivar.

Passo 4

Vou usar a representação com três fatores
y = A\cdot B\cdot C
onde
A=3x^{2},\qquad B=3x-4,\qquad C=x+2.
Calculemos as derivadas de cada fator (aplicando a regra da potência e derivada de função linear):
A' = \frac{d}{dx}(3x^{2}) = 6x,
B' = \frac{d}{dx}(3x-4) = 3,
C' = \frac{d}{dx}(x+2) = 1.

Passo 5

Agora aplico a regra do produto para três fatores:
y' = A'BC + AB'C + ABC'.
Substituindo A,A',B,B',C,C' obtemos
y' = 6x\,(3x-4)(x+2) + 3x^{2}\cdot 3\,(x+2) + 3x^{2}(3x-4)\cdot 1.
Essa é a expressão inicial da derivada; vamos simplificar.

Passo 6

Simplificação passo a passo. Primeiro escrevo os termos:
y' = 6x(3x-4)(x+2) + 9x^{2}(x+2) + 3x^{2}(3x-4).
Perceba que todos os termos têm um fator comum 3x. Fatoremos 3x:
y' = 3x\Big[2(3x-4)(x+2) + 3x(x+2) + x(3x-4)\Big].
Agora vou simplificar o colchete termo a termo.

Passo 7

Calcule os termos dentro do colchete:
  • Primeiro termo:
2(3x-4)(x+2) = 2\big(3x^{2}+6x-4x-8\big) = 2(3x^{2}+2x-8) = 6x^{2}+4x-16.
  • Segundo termo:
3x(x+2) = 3x^{2}+6x.
  • Terceiro termo:
x(3x-4) = 3x^{2}-4x.
Somando-os:
(6x^{2}+4x-16) + (3x^{2}+6x) + (3x^{2}-4x) = 12x^{2} + 6x -16.
Logo
y' = 3x\big(12x^{2} + 6x -16\big).
Fatore 2 dentro do parêntese:
y' = 3x\cdot 2\big(6x^{2} + 3x -8\big) = 6x\big(6x^{2} + 3x -8\big).
Essa é a forma fatorada e simples da derivada.

Passo 8

Agora encontramos os pontos críticos resolvendo y'=0 e verificando onde y' não existe. Como y' é um polinômio, existe para todo x, então só precisamos resolver y'=0:
6x\big(6x^{2} + 3x -8\big) = 0.
Isso ocorre quando 6x=0 ou quando 6x^{2} + 3x -8 = 0.
  • Da primeira condição temos
6x=0 \quad\Rightarrow\quad x=0.
  • Da segunda condição resolvemos a quadrática. Use a fórmula de Bhaskara para
6x^{2}+3x-8=0.
Coeficientes: a=6, b=3, c=-8. O discriminante é
\Delta = b^{2}-4ac = 3^{2}-4\cdot 6\cdot(-8) = 9 + 192 = 201.
As raízes são
x = \frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-3\pm\sqrt{201}}{12}.
Assim as soluções da quadrática são x=\dfrac{-3+\sqrt{201}}{12} e x=\dfrac{-3-\sqrt{201}}{12}.

Passo 9

Conclusão prática: a derivada não tem pontos onde seja indefinida (é polinomial), então todos os pontos críticos são os valores de x obtidos acima. Se quiser, na prova você poderia também verificar o tipo de ponto (mínimo, máximo ou ponto de inflexão) usando o teste da segunda derivada ou analisando o sinal de y' em intervalos, mas aqui a questão pediu apenas os pontos críticos.
Força — você já tem os passos detalhados: fatorar, aplicar produto, simplificar e resolver a equação resultante. Vai dar certo!

Resposta

x=0
x=\dfrac{-3+\sqrt{201}}{12}
x=\dfrac{-3-\sqrt{201}}{12}

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