Determine os pontos críticos das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para determinar os pontos críticos dessa função.
Informações relevantes: a função está dada explicitamente para todo . Um “ponto crítico” é qualquer
onde a derivada existe e é zero, ou onde a derivada não existe. A resolução começa por calcular a derivada
e então resolver
(ou verificar pontos onde
não exista).
Informações relevantes: a função está dada explicitamente para todo
Passo 2
O que é derivada e por que ela nos dá pontos críticos (aula curta e direta).
A derivada mede a inclinação da curva
. Pontos críticos são valores de
onde a inclinação é zero (tangente horizontal) ou onde a derivada não está definida. Para funções polinomiais (ou produto de polinômios) a derivada existe em todo lugar, então aqui vamos achar os
tais que
.
A derivada
Regras que vamos usar (explicadas):
- Regra do produto para duas funções: se
e são diferenciáveis, então
Significado: a derivada do produto é a soma do produto da derivada do primeiro pelo segundo mais o produto do primeiro pela derivada do segundo.
- Regra do produto para três fatores: se
são diferenciáveis,
- Regra da potência (power rule): para
,
Vou aplicar essas regras passo a passo.
Passo 3
Primeiro simplificar e fatorar a função para tornar as contas mais limpas. Fatorei cada fator dado:
Multiplicando,
Fazer essa fatoração ajuda bastante porque nos deixa com fatores simples para derivar.
Passo 4
Vou usar a representação com três fatores
onde
Calculemos as derivadas de cada fator (aplicando a regra da potência e derivada de função linear):
Passo 5
Agora aplico a regra do produto para três fatores:
Substituindo
obtemos
Essa é a expressão inicial da derivada; vamos simplificar.
Passo 6
Simplificação passo a passo. Primeiro escrevo os termos:
Perceba que todos os termos têm um fator comum
. Fatoremos
:
Agora vou simplificar o colchete termo a termo.
Passo 7
Calcule os termos dentro do colchete:
- Primeiro termo:
- Segundo termo:
- Terceiro termo:
Somando-os:
Logo
Fatore
dentro do parêntese:
Essa é a forma fatorada e simples da derivada.
Passo 8
Agora encontramos os pontos críticos resolvendo
e verificando onde
não existe. Como
é um polinômio, existe para todo
, então só precisamos resolver
:
Isso ocorre quando
ou quando
.
- Da primeira condição temos
- Da segunda condição resolvemos a quadrática. Use a fórmula de Bhaskara para
Coeficientes:
,
,
. O discriminante é
As raízes são
Assim as soluções da quadrática são
e
.
Passo 9
Conclusão prática: a derivada não tem pontos onde seja indefinida (é polinomial), então todos os pontos críticos são os valores de
obtidos acima. Se quiser, na prova você poderia também verificar o tipo de ponto (mínimo, máximo ou ponto de inflexão) usando o teste da segunda derivada ou analisando o sinal de
em intervalos, mas aqui a questão pediu apenas os pontos críticos.
Força — você já tem os passos detalhados: fatorar, aplicar produto, simplificar e resolver a equação resultante. Vai dar certo!