Utilizando o método de separar as variáveis, determine a solução geral (família de soluções) das EDs a seguir, isto é, encontre y(x) ou y(t).
\frac{d y}{d t}=3-\frac{y}{2}, sendo y>6.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial e a condição:
\frac{d y}{d t}=3-\frac{y}{2},
e informa que y>6. A tarefa é encontrar a família de soluções y(t) usando o método de separar variáveis.

Passo 2

Primeiro vou reescrever o lado direito para ver a estrutura com mais clareza:
3-\frac{y}{2}=\frac{6-y}{2}.
Portanto a equação fica
\frac{d y}{d t}=\frac{6-y}{2}.
Agora separamos as variáveis colocando tudo que envolve y em um lado e tudo que envolve t no outro:
\frac{d y}{6-y}=\frac{1}{2}\,dt.
Isso é a separação de variáveis: uma integral em y à esquerda e uma integral em t à direita.

Passo 3

Vamos integrar ambos os lados. A integral à esquerda requer cuidado com o sinal; uso a substituição u=6-y, daí du=-dy. Com isso
\int \frac{dy}{6-y}=\int \frac{-du}{u}=-\ln|u|+C_1=-\ln|6-y|+C_1.
A integral à direita é simples:
\int \frac{1}{2}\,dt=\frac{t}{2}+C_2.
Juntando as duas integrais e absorvendo constantes em uma só constante C, obtemos
-\ln|6-y|=\frac{t}{2}+C.

Passo 4

Isolo o logaritmo com sinal positivo:
\ln|6-y|=-\frac{t}{2}-C.
Posso escrever -C como uma nova constante C', então
\ln|6-y|= -\frac{t}{2}+C'.
Exponenciando ambos os lados resulta
|6-y|=e^{C'}e^{-t/2}.
Chamo e^{C'} de K>0, obtendo
|6-y|=K e^{-t/2},\qquad K>0.

Passo 5

Agora uso a informação adicional do enunciado y>6. Se y>6 então 6-y<0 e, portanto, |6-y|=y-6. Substituindo isso na equação anterior dá
y-6=K e^{-t/2},\qquad K>0.
Renomeando a constante positiva K por C (é comum usar C para a constante de integração), obtenho
y(t)=6+C e^{-t/2},\qquad C>0.

Passo 6

Comentário pedagógico rápido: sem a condição y>6 a solução geral seria y(t)=6+Ce^{-t/2} com C\in\mathbb{R}. A condição y>6 força y-6>0 para todos os t considerados, então precisamos de C>0. Note que C=0 dá a solução constante y\equiv6, que também resolve a EDO mas não satisfaz a restrição estrita y>6.

Resposta

y(t)=6+Ce^{-t/2},\;C>0

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