Utilizando o método de separar as variáveis, determine a solução geral (família de soluções) das EDs a seguir, isto é, encontre
ou
.
, sendo
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial e a condição:
e informa que
. A tarefa é encontrar a família de soluções
usando o método de separar variáveis.
Passo 2
Primeiro vou reescrever o lado direito para ver a estrutura com mais clareza:
Portanto a equação fica
Agora separamos as variáveis colocando tudo que envolve
em um lado e tudo que envolve
no outro:
Isso é a separação de variáveis: uma integral em
à esquerda e uma integral em
à direita.
Passo 3
Vamos integrar ambos os lados. A integral à esquerda requer cuidado com o sinal; uso a substituição
, daí
. Com isso
A integral à direita é simples:
Juntando as duas integrais e absorvendo constantes em uma só constante
, obtemos
Passo 4
Isolo o logaritmo com sinal positivo:
Posso escrever
como uma nova constante
, então
Exponenciando ambos os lados resulta
Chamo
de
, obtendo
Passo 5
Agora uso a informação adicional do enunciado
. Se
então
e, portanto,
. Substituindo isso na equação anterior dá
Renomeando a constante positiva
por
(é comum usar
para a constante de integração), obtenho
Passo 6
Comentário pedagógico rápido: sem a condição
a solução geral seria
com
. A condição
força
para todos os
considerados, então precisamos de
. Note que
dá a solução constante
, que também resolve a EDO mas não satisfaz a restrição estrita
.