Utilizando o método de separar as variáveis, determine a solução geral (família de soluções) das EDs a seguir, isto é, encontre
ou
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede a solução geral , ou seja, a família de todas as soluções que satisfazem essa equação. Informação relevante: a derivada de
em relação a
é igual a duas vezes
. Não há condição inicial dada, então vamos encontrar a constante de integração geral.
e pede a solução geral
Passo 2
Vamos usar o método de separação de variáveis. A ideia é separar os termos que dependem de
de um lado e os termos que dependem de
do outro, tratando
e
como diferenciais. Partimos de
.
Dividindo ambos os lados por (assumindo momentaneamente
) e multiplicando por
, obtemos
.
Essa é a forma separada: todas as quantidades com à esquerda e com
à direita.
Dividindo ambos os lados por
Essa é a forma separada: todas as quantidades com
Passo 3
Agora integramos ambos os lados em relação às suas variáveis:
.
A integral da esquerda é o logaritmo natural (com módulo) e a da direita é uma integral polinomial básica. Fazendo as integrais:
,
onde é a constante de integração (uma constante real arbitrária).
A integral da esquerda é o logaritmo natural (com módulo) e a da direita é uma integral polinomial básica. Fazendo as integrais:
onde
Passo 4
Para resolver para
isoladamente, exponenciamos ambos os lados:
.
Chamando , temos
, ou seja
. Podemos juntar o sinal e a constante positiva numa única constante real arbitrária
(que agora pode ser qualquer real, inclusive
). Assim obtemos
Observação: a solução corresponde a
e foi incluída ao permitir
.
Chamando
Observação: a solução
Passo 5
É bom checar que a solução encontrada realmente satisfaz a equação original. Diferenciando
obtemos
logo a equação é satisfeita para qualquer .
logo a equação é satisfeita para qualquer
Passo 6
Comentário prático de prova: se te derem uma condição inicial do tipo
, basta substituir na forma geral
e resolver
. Assim você obtém a solução particular.