Utilizando o método de separar as variáveis, determine a solução geral (família de soluções) das EDs a seguir, isto é, encontre y(x) ou y(t).
\frac{d y}{d x}=2 y

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\dfrac{dy}{dx}=2y
e pede a solução geral y(x), ou seja, a família de todas as soluções que satisfazem essa equação. Informação relevante: a derivada de y em relação a x é igual a duas vezes y. Não há condição inicial dada, então vamos encontrar a constante de integração geral.

Passo 2

Vamos usar o método de separação de variáveis. A ideia é separar os termos que dependem de y de um lado e os termos que dependem de x do outro, tratando dy e dx como diferenciais. Partimos de
\dfrac{dy}{dx}=2y.
Dividindo ambos os lados por y (assumindo momentaneamente y\neq 0) e multiplicando por dx, obtemos
\dfrac{1}{y}\,dy=2\,dx.
Essa é a forma separada: todas as quantidades com y à esquerda e com x à direita.

Passo 3

Agora integramos ambos os lados em relação às suas variáveis:
\displaystyle\int \dfrac{1}{y}\,dy=\int 2\,dx.
A integral da esquerda é o logaritmo natural (com módulo) e a da direita é uma integral polinomial básica. Fazendo as integrais:
\ln|y|=2x+C,
onde C é a constante de integração (uma constante real arbitrária).

Passo 4

Para resolver para y isoladamente, exponenciamos ambos os lados:
|y|=e^{2x+C}=e^{C}e^{2x}.
Chamando A=e^{C}>0, temos |y|=A e^{2x}, ou seja y=\pm A e^{2x}. Podemos juntar o sinal e a constante positiva numa única constante real arbitrária C (que agora pode ser qualquer real, inclusive 0). Assim obtemos
\displaystyle y=C e^{2x},\quad C\in\mathbb{R}.
Observação: a solução y\equiv 0 corresponde a C=0 e foi incluída ao permitir C=0.

Passo 5

É bom checar que a solução encontrada realmente satisfaz a equação original. Diferenciando
\displaystyle y(x)=C e^{2x} obtemos
\displaystyle \dfrac{dy}{dx}=C\cdot 2 e^{2x}=2(C e^{2x})=2y,
logo a equação é satisfeita para qualquer C\in\mathbb{R}.

Passo 6

Comentário prático de prova: se te derem uma condição inicial do tipo y(x_0)=y_0, basta substituir na forma geral \;y(x)=C e^{2x}\; e resolver C=y_0 e^{-2x_0}. Assim você obtém a solução particular.

Resposta

\displaystyle y(x)=C e^{2x},\quad C\in\mathbb{R}.

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