Resolva o problema de valor inicial.
, com
e
.
Passo 1
O enunciado dá uma equação diferencial e uma condição inicial e pede a solução que satisfaça ambas. Informações dadas:
- A equação diferencial é
. - A condição inicial é
. - Há a restrição
(a solução deve ser positiva).
A tarefa: encontrar a funçãoque satisfaz e , e verificar que ela respeita .
Passo 2
Entendendo o que significa resolver
: a notação
indica a derivada de
em relação a
. Quando temos uma igualdade do tipo
, isso diz que a taxa de variação de
é uma função conhecida de
. Uma maneira direta de resolver é "integrar em
": passamos para a forma diferencial
e integramos ambos os lados. Aqui vou explicar passo a passo como integrar e por que isso funciona.
Regra de integração usada: se , então integrando em
obtemos
Regra de integração usada: se
O lado esquerdo simplifica para
(mais uma constante de integração). No nosso caso
. Então fazemos:
Calcule cada integral: a integral de
é
(mais constante). A integral de
usa a regra da potência:
para
. Aqui
, então
Assim obtemos a solução geral (com constante de integração
):
Passo 3
Agora aplicamos a condição inicial
para determinar
. Substituímos
e
na solução geral:
Portanto a solução particular que satisfaz a condição inicial é
Verificamos a restrição
: como
para todo
, temos
. Logo a solução satisfaz
.
Passo 4
Observações e dica para a prova: quando a derivada aparece igual a uma função só de
, integre em
diretamente e lembre-se sempre da constante de integração. Depois use a condição inicial para achar a constante. Aqui a existência e unicidade da solução é garantida porque o lado direito
é contínuo; assim a solução encontrada é única.