Resolva o problema de valor inicial.
\frac{d y}{d x}=2 x, com y>0 e y(0)=3.

Passo 1

O enunciado dá uma equação diferencial e uma condição inicial e pede a solução que satisfaça ambas. Informações dadas:
  • A equação diferencial é \dfrac{dy}{dx}=2x.
  • A condição inicial é y(0)=3.
  • Há a restrição y>0 (a solução deve ser positiva).
    A tarefa: encontrar a função y(x) que satisfaz \dfrac{dy}{dx}=2x e y(0)=3, e verificar que ela respeita y>0.

Passo 2

Entendendo o que significa resolver \dfrac{dy}{dx}=2x: a notação \dfrac{dy}{dx} indica a derivada de y em relação a x. Quando temos uma igualdade do tipo \dfrac{dy}{dx}=f(x), isso diz que a taxa de variação de y é uma função conhecida de x. Uma maneira direta de resolver é "integrar em x": passamos para a forma diferencial \,dy = 2x\,dx e integramos ambos os lados. Aqui vou explicar passo a passo como integrar e por que isso funciona.
Regra de integração usada: se \dfrac{dy}{dx}=g(x), então integrando em x obtemos
\int \dfrac{dy}{dx}\,dx = \int g(x)\,dx.
O lado esquerdo simplifica para y (mais uma constante de integração). No nosso caso g(x)=2x. Então fazemos:
\int dy = \int 2x\,dx.
Calcule cada integral: a integral de dy é y (mais constante). A integral de 2x usa a regra da potência: \int x^n dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} para n\neq -1. Aqui n=1, então
\int 2x\,dx = 2\cdot\int x\,dx = 2\cdot\frac{x^{2}}{2} = x^{2}.
Assim obtemos a solução geral (com constante de integração C):
y = x^{2} + C.

Passo 3

Agora aplicamos a condição inicial y(0)=3 para determinar C. Substituímos x=0 e y=3 na solução geral:
3 = 0^{2} + C \quad\Rightarrow\quad C = 3.
Portanto a solução particular que satisfaz a condição inicial é
y(x) = x^{2} + 3.
Verificamos a restrição y>0: como x^{2}\ge 0 para todo x, temos y(x)=x^{2}+3\ge 3>0. Logo a solução satisfaz y>0.

Passo 4

Observações e dica para a prova: quando a derivada aparece igual a uma função só de x, integre em x diretamente e lembre-se sempre da constante de integração. Depois use a condição inicial para achar a constante. Aqui a existência e unicidade da solução é garantida porque o lado direito 2x é contínuo; assim a solução encontrada é única.

Resposta

y(x)=x^{2}+3

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