Determine os pontos críticos da funções. Classificá-los quanto a máximo ou minimos locais.
Passo 1
O enunciado pede os pontos críticos de
e sua classificação em máximos ou mínimos locais.
Conteúdo: otimização de funções de duas variáveis via sistema e teste da matriz Hessiana.
Conteúdo: otimização de funções de duas variáveis via sistema
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais:
Passo 3
Para pontos críticos, impomos
e
:
Passo 4
Substituindo
em
:
Esse polinômio tem três raízes reais
.
Passo 5
Aproximando numericamente as raízes de
obtemos
Então
Passo 6
Formamos a matriz Hessiana
O determinante é
Passo 7
Avaliamos
D e
fxx=2 em cada ponto crítico:
- Em
:(x1,y1)approx(-0,847,-2,360) D1=12(-0,847)-36(2,360)^2approx -210,7<0 ;Longrightarrow; sela - Em
:(x2,y2)approx(7,429,0,269) D2=12(7,429)-36(0,269)^2approx 86,6>0, fxx=2>0 ;Longrightarrow; mínimo local í - Em
:(x3,y3)approx(0,958,2,088) D3=12(0,958)-36(2,088)^2approx -146,1<0 ;Longrightarrow; sela
Resposta
Os pontos críticos são
Desses,
(7,429,0,269) é mínimo local e os outros dois são pontos de sela.