Determine os pontos críticos da funções. Classificá-los quanto a máximo ou minimos locais.
f(x, y)=x^2+3 x y^2-15 x-12 y

Passo 1

O enunciado pede os pontos críticos de
f(x,y)=x^2+3xy^2-15x-12y
e sua classificação em máximos ou mínimos locais.
Conteúdo: otimização de funções de duas variáveis via sistema nabla f=0 e teste da matriz Hessiana.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais:
fx = partial fpartial x=2x+3y^2-15, fy = partial fpartial y=6xy-12

Passo 3

Para pontos críticos, impomos fx=0 e fy=0:
6xy-12=0 ;Longrightarrow; xy=2 ;Longrightarrow; x=2y(yneq0)

Passo 4

Substituindo x=2/y em fx=0:
2l(2yr)+3y^2-15=0 ;Longrightarrow; 4y+3y^2-15=0 ;Longrightarrow; 3y^3-15y+4=0
Esse polinômio tem três raízes reais y1,y2,y3.

Passo 5

Aproximando numericamente as raízes de 3y^3-15y+4=0 obtemos
y1approx -2,36, y2approx 0,269, y3approx 2,088
Então
xi=2yi ;Longrightarrow; (x1,y1)approx(-0,847,-2,360), ; (x2,y2)approx(7,429,0,269), ; (x3,y3)approx(0,958,2,088)

Passo 6

Formamos a matriz Hessiana
H= fxx & fxy fyx & fyy = 2 & 6y 6y & 6x
O determinante é
D(x,y)=det H = 2 cdot (6x) - (6y)^2 = 12x - 36y^2

Passo 7

Avaliamos D e fxx=2 em cada ponto crítico:
  • Em (x1,y1)approx(-0,847,-2,360): D1=12(-0,847)-36(2,360)^2approx -210,7<0 ;Longrightarrow; sela
  • Em (x2,y2)approx(7,429,0,269): D2=12(7,429)-36(0,269)^2approx 86,6>0, fxx=2>0 ;Longrightarrow; mínimo local í
  • Em (x3,y3)approx(0,958,2,088): D3=12(0,958)-36(2,088)^2approx -146,1<0 ;Longrightarrow; sela

Resposta

Os pontos críticos são
(-0,847,,-2,360), (7,429,,0,269), (0,958,,2,088)
Desses, (7,429,0,269) é mínimo local e os outros dois são pontos de sela.

Exercícios relacionados