Determine os pontos críticos da funções. Classificá-los quanto a máximo ou minimos locais.
f(x, y)=3 x^2+2 x y+2 x+y^2+y+4

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos críticos de
f(x,y)=3x^2+2xy+2x+y^2+y+4
e classificá-los como máximo ou mínimo local. O conteúdo aqui é cálculo de derivadas parciais, solução do sistema grad f =0 e uso do teste da matriz Hessiana para classificação.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
O sistema
pode ser simplificado dividindo a primeira por
Da primeira obtém-se . Assim há um único ponto crítico em

Passo 3

Para classificar, formamos a matriz Hessiana:
H = fxx & fxy fxy & fyy = 6 & 2 2 & 2
Calculamos os menores principais:
D1 = fxx = 6 > 0, D2 = det H = 6 cdot 2 - 2 cdot 2 = 12 - 4 = 8 > 0
Como D1 > 0 e D2 > 0, a Hessiana é definida positiva e o ponto crítico é um mínimo local.

Resposta

O único ponto crítico é l(-tfrac14,-tfrac14r), que é um mínimo local de f.

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