Seja f(x, y)=a x^2+b, onde a e b são constantes reais não nulas. Quais os pontos críticos de f ? Eles são pontos de máximo local ou mínimo local?

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=a,x^2+b
onde a e b são constantes reais não nulas. Preciso encontrar os pontos críticos, ou seja, resolver
partial fpartial x=0, partial fpartial y=0
e depois classificar cada ponto crítico como máximo local, mínimo local ou nenhum dos dois.

Passo 2

Calculo as derivadas parciais:
partial fpartial x=2a x,
partial fpartial y=0
Para ter ponto crítico, exigimos
2a x=0 Longrightarrow x=0,
e a equação partial f/partial y=0 é satisfeita para todo y. Portanto, o conjunto de pontos críticos é
(0,y)mid yinR

Passo 3

Para classificar, examinamos a segunda derivada em x e em y:
fxx=2a, fxy=0, fyy=0
O determinante da Hessiana é
D = fxx,fyy - (fxy)^2 = 2acdot0 - 0 = 0,
logo o teste clássico falha. Então analisamos diretamente:
  • Se a>0, então para pontos (0,y0) temos f(x,y) = a,x^2+b >= b = f(0,y0) em toda vizinhança, ou seja, é um mínimo local (não estrito ao longo de y, mas mínimo em x).
  • Se a<0, o termo a,x^2 é nunca-positivo, dando f(x,y)<= b = f(0,y0), o que caracteriza um máximo local (não estrito em y).

Resposta

Os pontos críticos são todos os pontos da reta (0,y)mid yinR.
  • Para a>0, cada (0,y) é um mínimo local.
  • Para a<0, cada (0,y) é um máximo local.

Exercícios relacionados