Seja
, onde
e
são constantes reais não nulas. Quais os pontos críticos de
? Eles são pontos de máximo local ou mínimo local?
Passo 1
O enunciado dá a função
onde
e
são constantes reais não nulas. Preciso encontrar os pontos críticos, ou seja, resolver
e depois classificar cada ponto crítico como máximo local, mínimo local ou nenhum dos dois.
Passo 2
Calculo as derivadas parciais:
Para ter ponto crítico, exigimos
e a equação
é satisfeita para todo
. Portanto, o conjunto de pontos críticos é
Passo 3
Para classificar, examinamos a segunda derivada em
e em
:
O determinante da Hessiana é
logo o teste clássico falha. Então analisamos diretamente:
- Se
, então para pontos temos em toda vizinhança, ou seja, é um mínimo local (não estrito ao longo de , mas mínimo em ). - Se
, o termo é nunca-positivo, dando o que caracteriza um máximo local (não estrito em ).
Resposta
Os pontos críticos são todos os pontos da reta
.
- Para
, cada é um mínimo local. - Para
, cada é um máximo local.