Provar as identidades:
V(x, t)=f(x-c t)+g(x+c t) ; partial^2 Vpartial x^2-1c^2 partial^2 Vpartial t^2=0 ; f e g são funções deriváveis.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função de duas variáveis
V(x,t)=f(x−ct)+g(x+ct)
satisfaz a equação da onda unidimensional
partial^2Vpartial x^2 - 1c^2partial^2Vpartial t^2 = 0
O conteúdo é a equação da onda e vamos usar derivadas parciais aliadas à regra da cadeia.

Passo 2

Seja ξ=x−ct e η=x+ct. Para derivar em relação a x aplicamos a regra da cadeia: as taxas dξ/dx=1 e dη/dx=1. Assim,
partial Vpartial x = f'(ξ)cdot1 + g'(η)cdot1 = f'(ξ) + g'(η)
Derivando mais uma vez em x,
partial^2Vpartial x^2 = f''(ξ) + g''(η)

Passo 3

Agora derivamos em relação a t. A regra da cadeia dá dξ/dt=−c e dη/dt=+c. Logo,
partial Vpartial t = f'(ξ)(-c) + g'(η)(+c) = -c,f'(ξ) + c,g'(η)
Derivando novamente em t,
partial^2Vpartial t^2 = (-c),f''(ξ)(-c) + c,g''(η)(+c) = c^2f''(ξ) + c^2g''(η)

Passo 4

Substituímos agora na combinação que define a equação da onda:
partial^2Vpartial x^2 - 1c^2partial^2Vpartial t^2 = [f''(ξ) + g''(η)] - 1c^2[c^2f''(ξ) + c^2g''(η)]
Isso é
f''(ξ) + g''(η) - [f''(ξ) + g''(η)] = 0
Logo, de fato a expressão se anula.

Passo 5

Resposta

0

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