Determine os pontos críticos das funções e classifique-os:
y=x^3-12 x+120

Passo 1

O enunciado pede para achar os pontos críticos da função
y = x^3 - 12x + 120
e fazer a classificação (máximo ou mínimo). Vamos usar derivadas: primeiro achamos onde y'=0 para localizar os pontos críticos e depois usamos a segunda derivada y'' para determinar se é máximo local (quando y''<0) ou mínimo local (quando y''>0).

Passo 2

Calculamos a primeira derivada e igualamos a zero:
y' = ddxl(x^3-12x+120r) = 3x^2-12
Para achar os pontos críticos, resolvemos
3x^2-12 = 0 Longrightarrow x^2=4 Longrightarrow x = -2,;2

Passo 3

Calculamos a segunda derivada para classificar:
y'' = ddxl(3x^2-12r) = 6x
Em x=-2 temos
y''(-2)=6cdot(-2)=-12<0,
logo ;x=-2;é ponto de máximo local.
Em x=2 temos
y''(2)=6cdot2=12>0,
logo ;x=2;é ponto de mínimo local.

Passo 4

Calculamos as coordenadas exatas dos pontos críticos, substituindo na função original:
y(-2)=(-2)^3-12cdot(-2)+120 = -8+24+120 = 136,
y(2)=2^3-12cdot2+120 = 8-24+120 = 104

Resposta

Os pontos críticos são
(-2,136), que é um máximo local,
e
(2,104), que é um mínimo local.

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