Calcule o limite de f(x) conforme indicado.
f(x)=(1+x)^1 / x, x mapsto 0

Passo 1

O enunciado pede calcular
limxto0(1+x)^1/x.
Este é um limite do tipo indeterminado 1^infty. Para resolver, vamos usar logaritmo natural e, em seguida, o Teorema de L’Hôpital.

Passo 2

Definimos
y = (1+x)^1/x,
e, para linearizar a potência, aplicamos logaritmo natural em ambos os lados:
ln y = lnl((1+x)^1/xr) = ln(1+x)x

Passo 3

Agora estudamos
limxto0ln y = limxto0ln(1+x)x
Esse quociente é da forma 0/0, então aplicamos L’Hôpital, derivando numerador e denominador em relação a x:
limxto0ln(1+x)x =limxto0ddxln(1+x)ddxx =limxto011+x1 =11+0 =1

Passo 4

Concluímos que
limxto0ln y = 1,
ou seja, ln yto1. Como y=e^ln y, temos
limxto0y = e^1 = e

Resposta

e

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