Determine os pontos críticos das funções:
f(x)=2 x+2 raiz36-x^2

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos determinar os pontos críticos da função dada:
f(x) = 2x + 2raiz36 - x^2
Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, já que os pontos críticos são onde a derivada da função é igual a zero ou não está definida.

Passo 2

Vamos calcular a derivada de f(x) = 2x + 2raiz36 - x^2 . A derivada nos ajuda a encontrar as inclinações da função e identificar pontos onde a função atinge máximos ou mínimos.
A função é:
f'(x) = 2 + 2 cdot 12raiz36 - x^2 cdot (-2x)
Para derivar f'(x) = 2 - 2xraiz36 - x^2 , derivamos cada termo separadamente:
  • A derivada de é .
  • Para derivar , usamos a regra da cadeia. A derivada de em relação a é , onde e .
Então:
Simplificando:

Passo 3

Agora, encontramos os pontos críticos resolvendo 2 - 2xraiz36 - x^2 = 0 e verificando onde não está definida.
Primeiro, igualamos a derivada a zero:

Passo 4

Vamos resolver a equação:
2 = 2xraiz36 - x^2
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por 2:
1 = xraiz36 - x^2
Multiplicando ambos os lados por raiz36 - x^2 = x :
36 - x^2 = x^2
Elevando ao quadrado ambos os lados para eliminar a raiz:
36 = 2x^2
Somando x^2 = 18 nos dois lados:
x = pm raiz18 = pm 3raiz2
Dividindo por 2:
Então, tirando a raiz quadrada:

Passo 5

Além disso, precisamos verificar onde a derivada não está definida. Observando a expressão de , vemos que não pode ser zero ou negativa. Então, os pontos onde são , mas nesses pontos, a derivada não está definida. Entretanto, esses pontos estão nos extremos do domínio da função e não são considerados pontos críticos internos.

Resposta

Os pontos críticos da função são e .

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