Determine os pontos críticos das funções:
y=4 x raiz36-x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar os pontos críticos da função . Aqui, estamos lidando com Cálculo, especificamente com derivadas, que nos ajudam a encontrar onde a função tem picos, vales ou pontos de inflexão. Para isso, vamos precisar calcular a derivada da função e encontrar onde ela é igual a zero ou onde ela não existe.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que facilite a derivação:
y = 4x (36 - x^2)^1/2
Isso nos ajuda a visualizar que estamos lidando com um produto de duas funções: e .

Passo 3

Agora, vamos usar a Regra do Produto para derivar y' = u' cdot v + u cdot v' . A Regra do Produto diz que se temos duas funções e , então a derivada de é:
Aqui, podemos identificar:
Vamos derivar cada uma delas.

Passo 4

Calculando u = 4x :
u' = 4
v = (36 - x^2)^1/2
Agora, calculando v' = 12 (36 - x^2)^-1/2 cdot (-2x) . Para isso, usamos a Regra da Cadeia, já que v' = -x(36 - x^2)^1/2 é uma função composta:

Passo 5

Agora, aplicando a Regra do Produto:
y' = u' cdot v + u cdot v'
y' = 4 cdot (36 - x^2)^1/2 + 4x cdot ( -x(36 - x^2)^1/2 )
y' = 4 (36 - x^2)^1/2 - 4x^2(36 - x^2)^1/2

Passo 6

Vamos simplificar essa expressão para facilitar a resolução:
Primeiro, colocamos as frações com denominador comum:
y' = 4 (36 - x^2) - 4x^2(36 - x^2)^1/2
y' = 144 - 4x^2 - 4x^2(36 - x^2)^1/2
y' = 144 - 8x^2(36 - x^2)^1/2

Passo 7

Agora, para encontrar os pontos críticos, precisamos ver onde 144 - 8x^2(36 - x^2)^1/2 = 0 ou onde 144 - 8x^2 = 0 não existe.
Primeiro, igualamos a derivada a zero:
8x^2 = 144
Isso ocorre quando o numerador é zero:
x^2 = 18
x = pm raiz18
x = pm 3raiz2

Passo 8

Também devemos verificar onde a derivada não existe. A derivada não está definida quando o denominador é zero:
(36 - x^2)^1/2 = 0
36 - x^2 = 0
x^2 = 36
x = pm 6
No entanto, são os extremos do domínio da função original, então eles são considerados extremos absolutos, não necessariamente pontos críticos internos.

Resposta

Os pontos críticos da função são e .

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