Determine os pontos críticos das funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar os pontos críticos da função
. Aqui, estamos lidando com Cálculo, especificamente com derivadas, que nos ajudam a encontrar onde a função tem picos, vales ou pontos de inflexão. Para isso, vamos precisar calcular a derivada da função e encontrar onde ela é igual a zero ou onde ela não existe.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que facilite a derivação:
Isso nos ajuda a visualizar que estamos lidando com um produto de duas funções:
e
.
Passo 3
Agora, vamos usar a Regra do Produto para derivar
. A Regra do Produto diz que se temos duas funções
e
, então a derivada de
é:
Aqui, podemos identificar:
Vamos derivar cada uma delas.
Passo 4
Calculando
:
Agora, calculando
. Para isso, usamos a Regra da Cadeia, já que
é uma função composta:
Passo 5
Agora, aplicando a Regra do Produto:
Passo 6
Vamos simplificar essa expressão para facilitar a resolução:
Primeiro, colocamos as frações com denominador comum:
Passo 7
Agora, para encontrar os pontos críticos, precisamos ver onde
ou onde
não existe.
Primeiro, igualamos a derivada a zero:
Isso ocorre quando o numerador é zero:
Passo 8
Também devemos verificar onde a derivada não existe. A derivada não está definida quando o denominador é zero:
No entanto,
são os extremos do domínio da função original, então eles são considerados extremos absolutos, não necessariamente pontos críticos internos.
Resposta
Os pontos críticos da função
são
e
.