Obter a solução da equação integro-diferencial
integral0^t y^prime prime(u) y^prime(t-u) d u=y^prime(t)-y(t), y(0)=y^prime(0)=0

Passo 1

Temos a equação integro-diferencial
convolucional
integral0^ty''(u),y'(t-u),du = y'(t)-y(t),
com condições iniciais y(0)=y'(0)=0.
O conteúdo é o uso de transformada de Laplace em convoluções para converter a EIDE em uma equação algébrica.

Passo 2

Aplicando transformada de Laplace em ambos os lados e usando que
Lf*g=LfcdotLg
além das condições iniciais, temos
Ly''=s^2Y(s), Ly'=sY(s),
e
Ly'-y=(s-1)Y(s)
Logo a equação vira
s^2Y(s)cdot sY(s) = (s-1)Y(s) implies s^3Y(s)^2 = (s-1)Y(s)

Passo 3

Fatorando em Y(s), obtemos
Y(s)l(s^3Y(s)-(s-1)r)=0
Dessa forma surgem duas possibilidades:
- Y(s)=0,
- s^3Y(s)=s-1 que implica Y(s)=s-1s^3=1s^2-1s^3

Passo 4

Invertendo a transformada de Laplace da segunda opção dá
$$y(t)=L{-1}\Bigl(\tfrac1{s2}-\tfrac1{s3}\Bigr)=t-\frac{t2}{2}.
$$
Porém essa solução teria y(t)=L^-1l(tfrac1s^2-tfrac1s^3r)=t-t^22 , o que viola y'(0)=1.

Passo 5

Portanto a única solução que satisfaz as duas condições iniciais é a trivial:
y(t)=0

Resposta

y(t)=0

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