(Função Gama) A função Gama é definida pela integral imprópria
Gamma(p)=integral0^infty t^p-1 e^-t d t, para p>0
c) Seja p>-1. Mostre que
L(t^p)(s)=Gamma(p+1)s^p+1, s>0

Passo 1

A questão pede usar a definição de transformada de Laplace na função t^p e mostrar que o resultado é Gamma(p+1)/s^p+1. O conteúdo envolve transformada de Laplace e função Gama, e vamos precisar da definição de ambas.

Passo 2

Lembrando que a transformada de Laplace de uma função f(t), para s>0, é dada por
Lf(t)(s)=integral0^infty e^-stf(t),dt
Aqui queremos aplicar isso a f(t)=t^p.

Passo 3

Então escrevemos
Lt^p(s)=integral0^infty e^-stt^p,dt
Para garantir a convergência desse integral impróprio, precisamos de p>-1 (no infinito o decaimento exponencial domina e no zero o comportamento t^p exige p>-1).

Passo 4

Fazemos a troca de variável u=s,t. Assim t=u/s e dt=du/s. Substituindo na integral, obtemos:
integral0^infty e^-stt^p,dt =integral0^infty e^-u(us)^pdus =s^-(p+1)integral0^infty u^p e^-u,du

Passo 5

Como reconhecemos que integral0^infty u^p e^-u,du=Gamma(p+1), concluímos que:
Lt^p(s)=s^-(p+1),Gamma(p+1)

Resposta

Gamma(p+1)s^p+1

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