(Função Gama) A função Gama é definida pela integral imprópria
c) Seja
. Mostre que
Passo 1
A questão pede usar a definição de transformada de Laplace na função
e mostrar que o resultado é
. O conteúdo envolve transformada de Laplace e função Gama, e vamos precisar da definição de ambas.
Passo 2
Lembrando que a transformada de Laplace de uma função
, para
, é dada por
Aqui queremos aplicar isso a
Passo 3
Então escrevemos
Para garantir a convergência desse integral impróprio, precisamos de
Passo 4
Fazemos a troca de variável
. Assim
e
. Substituindo na integral, obtemos:
Passo 5
Como reconhecemos que
, concluímos que: