Determine os pontos críticos de.
h(x, y)=4 x y^2-2 x^2 y-x

Passo 1

A função dada é h(x,y)=4xy^2-2x^2y-x. A gente quer encontrar os pontos críticos, ou seja, onde as derivadas parciais são zero. Para isso, vamos precisar calcular partial h/partial x e partial h/partial y e resolver o sistema resultante.

Passo 2

As derivadas parciais são calculadas assim:
hx=partial hpartial x=4y^2-4xy-1
hy=partial hpartial y=8xy-2x^2=2x(4y-x)

Passo 3

Montamos o sistema de equações para pontos críticos:
hx=0 hy=0 Longrightarrow 4y^2-4xy-1=02x(4y-x)=0
Agora vamos analisar os dois casos que surgem de 2x(4y-x)=0.

Passo 4

Caso 1: x=0. Substituindo em hx=0 temos
4y^2-1=0Longrightarrow y^2=tfrac14Longrightarrow y=pmtfrac12
Logo aparecem dois pontos críticos: (0,tfrac12) e (0,-tfrac12).

Passo 5

Caso 2: 4y-x=0, ou seja, x=4y. Substituindo em hx=0
4y^2-4(4y)y-1=4y^2-16y^2-1=-12y^2-1=0Longrightarrow y^2=-tfrac112,
que não tem solução real. Portanto não surge ponto real aqui.

Resposta

Os pontos críticos reais são (0, 1/2) e (0, –1/2).

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