Usando frações parciais, calcule as seguintes integrais.
Passo 1
A gente quer calcular a integral de uma função racional
O conteúdo é decomposição em frações parciais e depois integração termo a termo usando integrais básicas como
,
,
e
.
Passo 2
Escrevemos a decomposição em frações parciais:
Multiplicamos ambos os lados por
para achar
.
Passo 3
Após multiplicar, temos
Expandindo cada termo e coletando em potências de
:
Passo 4
Igualando coeficientes de
e termo constante, obtemos o sistema:
Substituindo
C=-A e resolvendo, achamos
Passo 5
Com esses valores, a fração vira
Passo 6
Agora integramos termo a termo:
-
integral1x-1,dx=ln|x-1| -
integral-1(x-1)^2,dx=1x-1 -
integral-xx^2+1,dx=-12ln(x^2+1) -
integral1x^2+1,dx=arctan x