Usando frações parciais, calcule as seguintes integrais.
integral x^2-2 x-1(x-1)^2(x^2+1) d x

Passo 1

A gente quer calcular a integral de uma função racional
integral x^2-2x-1(x-1)^2(x^2+1),dx
O conteúdo é decomposição em frações parciais e depois integração termo a termo usando integrais básicas como integral1/(x-a),dx, integral1/(x-a)^2,dx, integral x/(x^2+1),dx e integral1/(x^2+1),dx.

Passo 2

Escrevemos a decomposição em frações parciais:
x^2-2x-1(x-1)^2(x^2+1)=Ax-1+B(x-1)^2+Cx+Dx^2+1
Multiplicamos ambos os lados por (x-1)^2(x^2+1) para achar A,B,C,D.

Passo 3

Após multiplicar, temos
x^2-2x-1=A(x-1)(x^2+1)+B(x^2+1)+(Cx+D)(x-1)^2
Expandindo cada termo e coletando em potências de x:
(A+C)x^3+(-A+B-2C+D)x^2+(A+C-2D)x+(-A+B+D)=x^2-2x-1

Passo 4

Igualando coeficientes de x^3,x^2,x, e termo constante, obtemos o sistema:
A+C=0, -,A+B-2C+D=1, A+C-2D=-2, -,A+B+D=-1
Substituindo C=-A e resolvendo, achamos
A=1, B=-1, C=-1, D=1

Passo 5

Com esses valores, a fração vira
x^2-2x-1(x-1)^2(x^2+1)=1x-1-1(x-1)^2-xx^2+1+1x^2+1

Passo 6

Agora integramos termo a termo:
  • integral1x-1,dx=ln|x-1|
  • integral-1(x-1)^2,dx=1x-1
  • integral-xx^2+1,dx=-12ln(x^2+1)
  • integral1x^2+1,dx=arctan x

Resposta

ln|x-1|+1x-1-12ln(x^2+1)+arctan x+C

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