Determine os pontos críticos de.
y(x, y)=e^1+x^2+y^2

Passo 1

Vamos encontrar os pontos críticos da função y(x,y) = e^1 + x^2 + y^2. Esse é um problema de Cálculo Multivariável: precisamos calcular as derivadas parciais, montar o gradiente e igualar a zero.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais usando a regra da cadeia. Primeiro definimos u(x,y) = 1 + x^2 + y^2, então y = e^u e partial ypartial x = e^u cdot partial upartial x, partial ypartial y = e^u cdot partial upartial y.
Aí vem:
partial ypartial x = e^1 + x^2 + y^2 cdot (2x) = 2x cdot e^1 + x^2 + y^2,
partial ypartial y = e^1 + x^2 + y^2 cdot (2y) = 2y cdot e^1 + x^2 + y^2

Passo 3

Para achar os pontos críticos, igualamos cada derivada parcial a zero. Como e^1 + x^2 + y^2 nunca é zero, sobram:
2x = 0 Longrightarrow x = 0,
2y = 0 Longrightarrow y = 0

Passo 4

A condição x=0 e y=0 nos dá o único ponto onde o gradiente é zero. Portanto, há um único ponto crítico.

Resposta

O único ponto crítico é (0,0).

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