Determine os pontos críticos das seguintes funções e classifique-os como pontos de máximo ou de mínimo local:
© f(x)=x^3-9 x^2+15 x+3 Resp: 1 ou 5

Passo 1

Vamos analisar a função f(x)=x^3-9x^2+15x+3. O conteúdo aqui é derivadas: vamos precisar encontrar f'(x), igualar a zero para achar os pontos críticos e usar f''(x) para classificá-los.

Passo 2

Calculemos a derivada primeira e resolvamos f'(x)=0. Temos:
f'(x)=3x^2-18x+15=3,(x^2-6x+5)=3,(x-1)(x-5)

Passo 3

Igualando a zero, obtemos os pontos críticos:
x-1=0 x=1 e
x-5=0 x=5.

Passo 4

Agora vamos à segunda derivada para classificar:
f''(x)=6x-18

Passo 5

Avaliando em x=1:
f''(1)=6cdot1-18=-12<0,
logo x=1 é ponto de máximo local.

Passo 6

Avaliando em x=5:
f''(5)=6cdot5-18=12>0,
logo x=5 é ponto de mínimo local.

Passo 7

Para completar, calculamos os valores de f nesses pontos:
f(1)=1-9+15+3=10,
f(5)=125-225+75+3=-22

Resposta

Os pontos críticos são (1,10) com máximo local e (5,−22) com mínimo local.

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