(0,3) Escolha apenas uma equação diferencial e apresente sua solução (não esqueça de apresentar qual método foi utilizado).
x^2 d yd x=-y(y+x);

Passo 1

A equação é x^2dydx = -y(y+x). Isso é um ODE de primeira ordem e tipo homogêneo (os termos em y e x aparecem no mesmo grau). Para resolver, vamos usar a substituição homogênea v = yx.

Passo 2

Primeiro, dividimos ambos os lados por x^2 para colocar em forma padrão de dydx:
dydx = -y^2 + xyx^2 = -y^2x^2 - yx
Como os termos em y/x são homogêneos de grau zero, procede-se com v = yx.

Passo 3

Substituindo y = vx e dydx = v + xdvdx na equação normalizada, temos:
v + xdvdx = -v^2 - v
Isolando xdvdx dá:
xdvdx = -v^2 - v - v = -v(v+2)

Passo 4

A equação agora é separável. Passamos todos os termos em v para um lado e x para o outro:
dvv(v+2) = -dxx
Fazendo frações parciais em 1v(v+2) = tfrac12l(1v - 1v+2r), integramos:
integraldvv(v+2) = 12lnl|vv+2r|, integral -dxx = -ln|x| + C
Logo:
12lnl|vv+2r| = -ln|x| + C

Passo 5

Multiplicando tudo por 2 e exponenciando, obtemos a solução implícita:
lnl|vv+2r| = -2ln|x| + C' Longrightarrow vv+2 = Kx^2,
onde K = e^C' é constante arbitrária.

Passo 6

Voltando à variável original y = vx, temos:
y/xy/x + 2 = Kx^2 Longrightarrow yy + 2x = Kx^2

Passo 7

Podemos ainda resolver para y explicitamente:
y = 2Kxx^2 - K

Resposta

A solução geral é dada implicitamente por yy+2x=Cx^2 (ou, de modo explícito, y=tfrac2Cxx^2-C), obtida pelo método de equação homogênea e separação de variáveis.

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