Escolha apenas uma equação diferencial e apresente sua solução (não esqueça de apresentar qual método foi utilizado). ;
Passo 1
A equação é . Isso é um ODE de primeira ordem e tipo homogêneo (os termos em e aparecem no mesmo grau). Para resolver, vamos usar a substituição homogênea .
Passo 2
Primeiro, dividimos ambos os lados por para colocar em forma padrão de :
Como os termos em são homogêneos de grau zero, procede-se com .
Passo 3
Substituindo e na equação normalizada, temos:
Isolando dá:
Passo 4
A equação agora é separável. Passamos todos os termos em para um lado e para o outro:
Fazendo frações parciais em , integramos:
Logo:
12lnl|vv+2r| = -ln|x| + C
Passo 5
Multiplicando tudo por 2 e exponenciando, obtemos a solução implícita:
lnl|vv+2r| = -2ln|x| + C' Longrightarrow vv+2 = Kx^2,
onde K = e^C' é constante arbitrária.
Passo 6
Voltando à variável original y = vx, temos:
y/xy/x + 2 = Kx^2 Longrightarrow yy + 2x = Kx^2
Passo 7
Podemos ainda resolver para y explicitamente:
y = 2Kxx^2 - K
Resposta
A solução geral é dada implicitamente por yy+2x=Cx^2 (ou, de modo explícito, y=tfrac2Cxx^2-C), obtida pelo método de equação homogênea e separação de variáveis.