Determine os pontos críticos das seguintes funções;
f(x, y, z)=x y+x z;

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos críticos da função
fcolon R^3 to R, f(x,y,z)=xy+xz
Para achar os pontos críticos de uma função de várias variáveis, usamos a condição de primeira ordem: calcular o gradiente nabla f e igualá-lo ao vetor nulo.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de f. Temos
partial fpartial x(x,y,z)=y+z, partial fpartial y(x,y,z)=x, partial fpartial z(x,y,z)=x
Logo, o gradiente é
nabla f(x,y,z) = (,y+z,;x,;x,)

Passo 3

Impor a condição de ponto crítico, isto é,
nabla f(x,y,z) = (0,0,0)
Isso gera o sistema
y + z = 0, x = 0, x = 0
Da segunda e terceira equações segue x=0. Da primeira, z = -y.

Passo 4

Concluímos que todos os pontos críticos são aqueles em que
x = 0 e z = -y,
com y livre em R.

Resposta

Os pontos críticos de f são
(0,y,-y)mid yinR

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