Calcule todas as derivadas parciais de segunda ordem das seguintes funções:
z=4 x y-3 x^{2} y^{3}

Passo 1

O enunciado pede todas as derivadas parciais de segunda ordem da função
z = 4xy - 3x^2y^3
Vamos primeiro calcular as derivadas parciais de primeira ordem usando a regra de derivação parcial (tratando a outra variável como constante) e depois derivar essas expressões para obter as segundas ordens.

Passo 2

Calculando partial zpartial x, tratando y como constante:
  • Derivada de 4xy em relação a x é 4y.
  • Derivada de -3x^2y^3 em relação a x é -6x,y^3.
    Logo,
partial zpartial x = 4y - 6x,y^3

Passo 3

Calculando partial zpartial y, tratando x como constante:
  • Derivada de 4xy em relação a y é 4x.
  • Derivada de -3x^2y^3 em relação a y é -9x^2,y^2.
    Logo,
partial zpartial y = 4x - 9x^2,y^2

Passo 4

Agora derivamos partial zpartial x para obter as segundas ordens envolvendo x:
  • partialpartial x(4y)=0 (pois y é constante).
  • partialpartial x(-6x,y^3)=-6y^3
    Logo,
partial^2zpartial x^2 = -6y^3
E derivando partial zpartial x em relação a y:
  • partialpartial y(4y)=4.
  • partialpartial y(-6x,y^3)=-18x,y^2
    Logo,
partial^2zpartial y,partial x = 4 - 18x,y^2

Passo 5

Finalmente, derivamos partial zpartial y para obter as segundas ordens envolvendo y:
  • partialpartial y(4x)=0 (pois x é constante).
  • partialpartial y(-9x^2,y^2)=-18x^2,y
    Logo,
partial^2zpartial y^2 = -18x^2,y
E derivando partial zpartial y em relação a x:
  • partialpartial x(4x)=4
  • partialpartial x(-9x^2,y^2)=-18x,y^2
    Logo,
partial^2zpartial x,partial y = 4 - 18x,y^2,
que coincide com partial^2zpartial y,partial x.

Resposta

partial^2zpartial x^2 = -6y^3
partial^2zpartial x,partial y = 4 - 18x,y^2
partial^2zpartial y,partial x = 4 - 18x,y^2
partial^2zpartial y^2 = -18x^2,y

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