Calcule todas as derivadas parciais de segunda ordem das seguintes funções:
z=4 x y-3 x^{2} y^{3}
z=4 x y-3 x^{2} y^{3}
Passo 1
O enunciado pede todas as derivadas parciais de segunda ordem da função
Vamos primeiro calcular as derivadas parciais de primeira ordem usando a regra de derivação parcial (tratando a outra variável como constante) e depois derivar essas expressões para obter as segundas ordens.
Passo 2
Calculando
, tratando
como constante:
- Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a é .
Logo,
Passo 3
Calculando
, tratando
como constante:
- Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a é .
Logo,
Passo 4
Agora derivamos
para obter as segundas ordens envolvendo
:
-
(pois é constante). -
Logo,
E derivando
em relação a
:
-
. -
Logo,
Passo 5
Finalmente, derivamos
para obter as segundas ordens envolvendo
:
-
(pois é constante). -
Logo,
E derivando
em relação a
:
-
-
Logo,
que coincide com
.