Determine o valor máximo da derivada direcional de f no ponto dado P e a direcão em que ocorre: w=cosh (x y z), P=(1,0,1).

Passo 1

O enunciado pede o valor máximo da derivada direcional de f(x,y,z)=cosh(xyz) no ponto P=(1,0,1) e a direção em que esse máximo ocorre. Esse problema envolve derivada direcional e gradiente, sabendo que o maior valor da derivada direcional em P é |nabla f(P)| e ocorre na direção de nabla f(P).

Passo 2

Para calcular o gradiente, note que f(x,y,z)=cosh(u) com u=xyz. Como dducosh(u)=sinh(u) e partial upartial x=yz (e analogamente para y,z), temos
nabla f(x,y,z)=l(sinh(xyz),y z,;sinh(xyz),x z,;sinh(xyz),x yr)
Agora avaliamos em P=(1,0,1). Como xyz=1cdot0cdot1=0, temos sinh(0)=0. Logo
nabla f(1,0,1)=(sinh(0)cdot0cdot1,;sinh(0)cdot1cdot1,;sinh(0)cdot1cdot0)=(0,0,0)

Passo 3

O valor máximo da derivada direcional em P é o módulo do gradiente:
max|u|=1Du f(P)=|nabla f(P)|=|(0,0,0)|=0
Como nabla f(P)=0, a derivada direcional em qualquer direção unitária também vale zero. Portanto, qualquer direção unitária atinge esse valor máximo.

Resposta

O valor máximo da derivada direcional em P é 0, e ocorre em qualquer direção unitária, já que nabla f(1,0,1)=(0,0,0).

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