Calcule nabla cdot(nabla times F).
F(x, y, z)=sen x i+cos (x-y) j+z k

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular nabla cdot (nabla times F), onde F(x, y, z) = sin x, i + cos (x - y), j + z, k. Aqui, estamos trabalhando com cálculo vetorial, especificamente com os operadores divergente ( nabla cdot) e rotacional ( nabla times). Para resolver isso, vamos precisar entender o que cada operador faz e aplicar suas propriedades.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa o rotacional de um campo vetorial. O rotacional, ou nabla times F, mede a tendência do campo vetorial de “girar” em torno de um ponto. É calculado usando a seguinte fórmula:
nabla times F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z ) i + ( partial Fxpartial z - partial Fzpartial x ) j + ( partial Fypartial x - partial Fxpartial y ) k
Vamos aplicar isso à nossa F.

Passo 3

Calculando cada componente do rotacional:
  • Para i:
partial Fzpartial y = partial zpartial y = 0
partial Fypartial z = partial cos(x - y)partial z = 0
Então, a componente i é 0 - 0 = 0.
  • Para j:
partial Fxpartial z = partial sin xpartial z = 0
partial Fzpartial x = partial zpartial x = 0
Então, a componente j é 0 - 0 = 0.
  • Para k:
partial Fypartial x = partial cos(x - y)partial x = -sin(x - y)
partial Fxpartial y = partial sin xpartial y = 0
Então, a componente k é -sin(x - y) - 0 = -sin(x - y).
Portanto, o rotacional de F é:
nabla times F = 0, i + 0, j - sin(x - y), k = -sin(x - y), k

Passo 4

Agora, vamos calcular a divergência desse resultado. A divergência, ou nabla cdot G, de um campo vetorial G = Gx, i + Gy, j + Gz, k é dada por:
nabla cdot G = partial Gxpartial x + partial Gypartial y + partial Gzpartial z
No nosso caso, G = nabla times F = -sin(x - y), k, ou seja, Gx = 0, Gy = 0, e Gz = -sin(x - y).

Passo 5

Aplicando a fórmula da divergência:
nabla cdot (nabla times F) = partial 0partial x + partial 0partial y + partial (-sin(x - y))partial z = 0 + 0 + 0 = 0

Resposta

nabla cdot (nabla times F) = 0

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