Determine a derivada direcional da função dada na direção v : w=x y e^z+y z e^x, v=(2,2,1).

Passo 1

Neste exercício vamos achar a derivada direcional da função w(x,y,z)=x y e^z+y z e^x na direção do vetor vec v=(2,2,1). O conteúdo envolve derivadas parciais, gradiente e projeção em vetor unitário.

Passo 2

Primeiro calculamos a derivada parcial em relação a x. Lembrando que se w=x y e^z+y z e^x, tratamos y e z como constantes ao derivar em x. Assim,
partial wpartial x=y e^z+y z e^x

Passo 3

Agora calculamos a derivada parcial em relação a y. Aqui x e z são constantes, logo
partial wpartial y=x e^z+z e^x

Passo 4

Em seguida a derivada parcial em relação a z. Agora x e y são constantes, ficando
partial wpartial z=x y e^z+y e^x

Passo 5

Com as derivadas parciais temos o gradiente:
nabla w=(y e^z+y z e^x,;x e^z+z e^x,;x y e^z+y e^x)

Passo 6

Para achar a derivada direcional usamos Du w=nabla wcdot u, onde u é o vetor unitário na direção de vec v. Calculamos o módulo de vec v:
|vec v|=raiz2^2+2^2+1^2=3,
logo
u=vec v|vec v|=l(tfrac23,tfrac23,tfrac13r)

Passo 7

Finalmente o produto escalar nabla wcdot u dá a derivada direcional:

Resposta

Dvec vw(x,y,z)=2l(y e^z+y z e^xr)+2l(x e^z+z e^xr)+1l(x y e^z+y e^xr)3

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