Determine a derivada direcional da função dada na direção
:
.
Passo 1
Neste exercício vamos achar a derivada direcional da função
na direção do vetor
. O conteúdo envolve derivadas parciais, gradiente e projeção em vetor unitário.
Passo 2
Primeiro calculamos a derivada parcial em relação a
. Lembrando que se
, tratamos
e
como constantes ao derivar em
. Assim,
Passo 3
Agora calculamos a derivada parcial em relação a
. Aqui
e
são constantes, logo
Passo 4
Em seguida a derivada parcial em relação a
. Agora
e
são constantes, ficando
Passo 5
Com as derivadas parciais temos o gradiente:
Passo 6
Para achar a derivada direcional usamos
, onde
é o vetor unitário na direção de
. Calculamos o módulo de
:
logo
Passo 7
Finalmente o produto escalar
dá a derivada direcional: