1. Determine os pontos críticos de:
    (a) z=e^1+x^2+y^2

Passo 1

Vamos analisar a função z = e^1 + x^2 + y^2. O conteúdo aqui é derivadas parciais e pontos críticos: vamos precisar calcular partial z/partial x e partial z/partial y usando a regra da cadeia e depois igualar essas derivadas a zero.

Passo 2

Primeiro, aplicamos a regra da cadeia para encontrar as derivadas parciais. Como z = e^u com u = 1 + x^2 + y^2, temos
partial zpartial x = e^1 + x^2 + y^2 cdot partialpartial x(1 + x^2 + y^2) = e^1 + x^2 + y^2 cdot 2x,
partial zpartial y = e^1 + x^2 + y^2 cdot partialpartial y(1 + x^2 + y^2) = e^1 + x^2 + y^2 cdot 2y

Passo 3

Agora para encontrar os pontos críticos, igualamos cada derivada parcial a zero. Como e^1 + x^2 + y^2 nunca é zero, temos
2x = 0 Rightarrow x = 0,
2y = 0 Rightarrow y = 0

Passo 4

Assim, a única solução para o sistema partial z/partial x = 0 e partial z/partial y = 0 é (x,y) = (0,0).

Resposta

O único ponto crítico é (0,0), e nesse ponto o valor de z é e¹ = e.

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