Determine se a série (a) verifica as condições (i) e (ii) para o teste das séries alternadas (11.30), e (b) converge ou diverge.
8 sumn=1^infty(-1)^n+1 nn^2+4

Passo 1

O enunciado pede para analisar a série
8 \sum_{n=1}{\infty}(-1){n+1} \frac{n}{n^{2}+4},
verificando as condições do teste de séries alternadas (também chamado de teste de Leibniz) e decidir se ela converge ou diverge.

Passo 2

Identificamos que a série é alternada e definimos
bn = nn^2+4,
que é a parte positiva dos termos. Para aplicar o teste de Leibniz precisamos checar duas condições:
(i) bn é decrescente para todo n suficientemente grande;
(ii) limntoinfty bn = 0.

Passo 3

Calculamos o limite de bn:
limntoinfty nn^2+4 = limntoinfty 1n + 4/n = 0
Assim, a condição (ii) está satisfeita.

Passo 4

Para verificar a monotonicidade de bn, considere a função contínua
f(x)=xx^2+4
A derivada é
f'(x)=(x^2+4)-2x^2(x^2+4)^2 = 4 - x^2(x^2+4)^2
Como f'(x)<0 para x>2, concluímos que bn é decrescente a partir de n=3. Isso garante a condição (i) para todo n grande.

Passo 5

Como bnto0 e bn é decrescente a partir de n=3, pelo teste de séries alternadas a série original converge.

Resposta

A série satisfaz as condições (i) e (ii) do teste de Leibniz e, portanto, converge (condicionalmente).

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