Determine se a série (a) verifica as condições (i) e (ii) para o teste das séries alternadas (11.30), e (b) converge ou diverge.
Passo 1
O enunciado pede para analisar a série
8 \sum_{n=1}{\infty}(-1){n+1} \frac{n}{n^{2}+4},
verificando as condições do teste de séries alternadas (também chamado de teste de Leibniz) e decidir se ela converge ou diverge.
8 \sum_{n=1}{\infty}(-1){n+1} \frac{n}{n^{2}+4},
verificando as condições do teste de séries alternadas (também chamado de teste de Leibniz) e decidir se ela converge ou diverge.
Passo 2
Identificamos que a série é alternada e definimos
que é a parte positiva dos termos. Para aplicar o teste de Leibniz precisamos checar duas condições:
(i) é decrescente para todo
suficientemente grande;
(ii) .
(i)
(ii)
Passo 3
Calculamos o limite de
:
Assim, a condição (ii) está satisfeita.
Passo 4
Para verificar a monotonicidade de
, considere a função contínua
A derivada é
Como
para
, concluímos que
é decrescente a partir de
. Isso garante a condição (i) para todo
grande.
Passo 5
Como
e
é decrescente a partir de
, pelo teste de séries alternadas a série original converge.
Resposta
A série satisfaz as condições (i) e (ii) do teste de Leibniz e, portanto, converge (condicionalmente).