Determine se a série (a) verifica as condições (i) e (ii) para o teste das séries alternadas (11.30), e (b) converge ou diverge.
Passo 1
O enunciado pede para usar o teste de séries alternadas na série
. Vamos verificar (i) se os termos em valor absoluto são decrescentes e (ii) se tendem a zero.
Passo 2
Definimos
. Primeiro note que para
temos
, pois
e
.
Passo 3
Para ver se
é decrescente a partir de algum ponto, consideramos a função
. Calculando a derivada:
Passo 4
Como
para
, temos
quando
. Logo
é decrescente para
.
Passo 5
Agora calculamos o limite:
pois o crescimento de
Passo 6
Como (i)
é decrescente a partir de
e (ii)
, o teste de séries alternadas garante que
converge. Multiplicar por 10 não altera a convergência.
Resposta
A série satisfaz as condições (i) e (ii) do teste de séries alternadas e, portanto, converge (de modo condicional).