Determine se a série (a) verifica as condições (i) e (ii) para o teste das séries alternadas (11.30), e (b) converge ou diverge.
10 sumn=1^infty(-1)^n ln nn

Passo 1

O enunciado pede para usar o teste de séries alternadas na série 10sumn=1^infty(-1)^nln nn. Vamos verificar (i) se os termos em valor absoluto são decrescentes e (ii) se tendem a zero.

Passo 2

Definimos bn=ln nn. Primeiro note que para n>=2 temos bn>0, pois ln n>0 e n>0.

Passo 3

Para ver se bn é decrescente a partir de algum ponto, consideramos a função f(x)=ln xx, x>1. Calculando a derivada:
f'(x)=1xcdot x-ln xcdot1x^2=1-ln xx^2

Passo 4

Como 1-ln x<0 para x>eapprox2,718, temos f'(x)<0 quando x>e. Logo bn é decrescente para n>=3.

Passo 5

Agora calculamos o limite:
limntoinftyln nn=0,
pois o crescimento de n domina o de ln n.

Passo 6

Como (i) bn é decrescente a partir de n=3 e (ii) bnto0, o teste de séries alternadas garante que sum(-1)^n bn converge. Multiplicar por 10 não altera a convergência.

Resposta

A série satisfaz as condições (i) e (ii) do teste de séries alternadas e, portanto, converge (de modo condicional).

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