Determine os pontos críticos de: z=(x^2-1)(y^2-4)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos críticos da função de duas variáveis z=f(x,y)=(x^2-1)(y^2-4). O conteúdo envolvido é o de derivadas parciais e pontos críticos, que ocorrem onde o gradiente nabla f=(fx,fy) se anula. Precisaremos calcular fx e fy e resolver o sistema fx=0,,fy=0.

Passo 2

Para calcular as derivadas parciais, note que f(x,y)=(x^2-1)(y^2-4) é um produto de u=x^2-1 e v=y^2-4. Aplicando a regra do produto:
partial fpartial x=u',v+u,v'=2x(y^2-4)+0=2x(y^2-4)
De modo análogo, derivando em relação a y:
partial fpartial y=0+ (x^2-1)cdot 2y=2y(x^2-1)

Passo 3

Para pontos críticos, igualamos ambas a zero:
2x(y^2-4)=0,
2y(x^2-1)=0
Como o fator 2 é não nulo, o sistema é equivalente a
x(y^2-4)=0,
y(x^2-1)=0

Passo 4

Agora resolvemos cada equação por partes:
  • Da primeira: ou x=0 ou y^2-4=0 (isto é, y=pm2).
  • Da segunda: ou y=0 ou x^2-1=0 (isto é, x=pm1).

Passo 5

Para satisfazer ambas simultaneamente, as soluções são:
  1. x=0 e y=0
  2. x=pm1 e y=pm2.

Resposta

Os pontos críticos são (0,0), (1,2), (1,-2), (-1,2) e (-1,-2).

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