Considere a superfície dada pela função f(x, y)=x e^x^2-y^2.
Utilizando o plano tangente encontrado no item (b), calcule um valor aproximado para f(1.01,1.002).

Passo 1

Temos a função f(x,y)=x e^x^2-y^2 e queremos aproximar f(1.01,1.002) usando o plano tangente no ponto (1,1) obtido no item (b). Para isso, vamos usar a aproximação linear (ou diferencial), que exige conhecer f(1,1), partial fpartial x(1,1) e partial fpartial y(1,1).

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f:
partial fpartial x=e^x^2-y^2l(1+2x^2r) e partial fpartial y=-2xy,e^x^2-y^2.
Em (1,1) temos
f(1,1)=1,
partial fpartial x(1,1)=e^0(1+2)=3,
partial fpartial y(1,1)=-2.
Logo, o plano tangente é
z = 1 + 3(x-1) - 2(y-1)

Passo 3

Para (x,y)=(1.01,1.002), substituímos na equação do plano:
z approx 1 + 3(1.01-1) - 2(1.002-1) = 1 + 0.03 - 0.004 = 1.026

Resposta

1.026

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