Seja f(x, y)=x^2 y.
Determine o vetor gradiente nabla f(1,1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função e precisa encontrar o vetor gradiente nesse ponto. Para isso, vamos usar o conceito de derivadas parciais, que é parte do cálculo multivariável. O gradiente nos dá a direção de maior crescimento da função e é formado pelas derivadas parciais em relação a cada variável.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de partial fpartial x = 2x y em relação a . A derivada parcial em relação a uma variável mostra como a função muda quando apenas essa variável muda, mantendo a outra constante.
Para , a derivada parcial em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de partial fpartial y = x^2 em relação a . Aqui, mantemos constante e vemos como a função muda com .
Para , a derivada parcial em relação a é:

Passo 4

Com as derivadas parciais encontradas, vamos agora avaliar elas no ponto partial fpartial x|(1,1) = 2 times 1 times 1 = 2 :
partial fpartial y|(1,1) = 1^2 = 1

Resposta

O vetor gradiente em é .

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