Dois carros aproximam-se de um cruzamento. O carro A viaja para o leste a
e o carro B viaja para o norte a
. Qual a taxa de variação da distância entre os carros no instante em que o carro A está a
do cruzamento e o carro B está a
do cruzamento?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos dois carros que estão se aproximando de um cruzamento:
- Carro A está indo para o leste a uma velocidade de
. - Carro B está indo para o norte a uma velocidade de
.
Queremos descobrir a taxa de variação da distância entre os dois carros no exato momento em que:
- O Carro A está a
do cruzamento. - O Carro B está a
do cruzamento.
Para resolver isso, vamos usar um pouco de cálculo, especialmente derivadas, e a geometria do triângulo formado pela posição dos carros.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar a situação para visualizar melhor:
- Imagine o cruzamento como o ponto de origem $ (0,0) $.
- O Carro A está se movendo para o leste (eixo x) e o Carro B para o norte (eixo y).
No instante em que estamos analisando:
- A posição do Carro A é
. - A posição do Carro B é
.
A distância
entre os carros pode ser representada pelo teorema de Pitágoras:
Passo 3
Agora, queremos saber como
está mudando com o tempo, ou seja, queremos encontrar a derivada de
em relação ao tempo
, denotada por
.
Para isso, vamos usar a regra da cadeia para derivadas. Diferenciando ambos os lados da equação
em relação ao tempo
, temos:
Simplificando:
Passo 4
Vamos identificar cada uma das partes dessa equação:
-
(distância do Carro A ao cruzamento) -
(distância do Carro B ao cruzamento) -
(velocidade do Carro A; negativa porque está se aproximando) -
(velocidade do Carro B; negativa também)
O sinal negativo indica que as distâncias estão diminuindo com o tempo.
Passo 5
Primeiro, vamos calcular a distância
entre os carros no instante dado:
Passo 6
Agora, substituímos todos os valores na fórmula da derivada:
Calculando o numerador:
Então:
Resposta
A taxa de variação da distância entre os carros no instante considerado é de
. Isso significa que a distância entre eles está diminuindo a uma velocidade de
.