Dois carros aproximam-se de um cruzamento. O carro A viaja para o leste a 90 km / h e o carro B viaja para o norte a 60 km / h. Qual a taxa de variação da distância entre os carros no instante em que o carro A está a 0,3 km do cruzamento e o carro B está a 0,4 km do cruzamento?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos dois carros que estão se aproximando de um cruzamento:
  • Carro A está indo para o leste a uma velocidade de 90, km/h.
  • Carro B está indo para o norte a uma velocidade de 60, km/h.
Queremos descobrir a taxa de variação da distância entre os dois carros no exato momento em que:
  • O Carro A está a 0,3, km do cruzamento.
  • O Carro B está a 0,4, km do cruzamento.
Para resolver isso, vamos usar um pouco de cálculo, especialmente derivadas, e a geometria do triângulo formado pela posição dos carros.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar a situação para visualizar melhor:
  • Imagine o cruzamento como o ponto de origem $ (0,0) $.
  • O Carro A está se movendo para o leste (eixo x) e o Carro B para o norte (eixo y).
No instante em que estamos analisando:
  • A posição do Carro A é (0,0) .
  • A posição do Carro B é x = 0,3, km.
A distância y = 0,4, km entre os carros pode ser representada pelo teorema de Pitágoras:
D

Passo 3

Agora, queremos saber como D está mudando com o tempo, ou seja, queremos encontrar a derivada de D em relação ao tempo t, denotada por dDdt.
Para isso, vamos usar a regra da cadeia para derivadas. Diferenciando ambos os lados da equação D = raizx^2 + y^2 em relação ao tempo t, temos:
dDdt = 12raizx^2 + y^2 cdot (2xdxdt + 2ydydt)
Simplificando:
dDdt = xdxdt + ydydtD

Passo 4

Vamos identificar cada uma das partes dessa equação:
  • x = 0,3, km (distância do Carro A ao cruzamento)
  • y = 0,4, km (distância do Carro B ao cruzamento)
  • dxdt = -90, km/h (velocidade do Carro A; negativa porque está se aproximando)
  • dydt = -60, km/h (velocidade do Carro B; negativa também)
O sinal negativo indica que as distâncias estão diminuindo com o tempo.

Passo 5

Primeiro, vamos calcular a distância D entre os carros no instante dado:
D = raiz(0,3)^2 + (0,4)^2 = raiz0,09 + 0,16 = raiz0,25 = 0,5, km

Passo 6

Agora, substituímos todos os valores na fórmula da derivada:
dDdt = 0,3 cdot (-90) + 0,4 cdot (-60)0,5
Calculando o numerador:
0,3 cdot (-90) = -27
0,4 cdot (-60) = -24
-27 + (-24) = -51
Então:
dDdt = -510,5 = -102, km/h

Resposta

A taxa de variação da distância entre os carros no instante considerado é de -102, km/h. Isso significa que a distância entre eles está diminuindo a uma velocidade de 102, km/h.

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