Determine os valores de a e b para que a função f dada seja contínua em todo o seu domínio.
a) f(x)= ll x^2+2, & text se x<1 a x+b, & text se 1 <= x<2 2 x, & text se x >= 2
b) f(x)= ll a x, & text se x<1 x^2+b x+1, & text se x >= 1

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar os valores de $ a $ e $ b $ para que a função $ f $ seja contínua em todo o seu domínio. A matéria que vamos usar aqui é continuidade de funções por partes. Precisamos garantir que não haja “saltos” na função nos pontos onde ela muda de expressão.

Passo 2

Vamos começar pela parte a) da função:
f(x) = x^2+2, & se x < 1 a x + b, & se 1 <= x < 2 2x, & se x >= 2
Para que $ f(x) $ seja contínua, os limites laterais devem ser iguais nos pontos onde a função muda de expressão, ou seja, em $ x = 1 $ e $ x = 2 $.

Passo 3

Primeiro, vamos analisar em $ x = 1 $:
  • O limite quando $ x $ se aproxima de 1 pela esquerda ($ x < 1 $) é:
x = 1
  • O valor da função em $ x = 1 $ é dado por $ a \times 1 + b = a + b $.
Para ser contínua, esses valores devem ser iguais:
x çã

Passo 4

Agora, vamos analisar em $ x = 2 $:
  • O limite quando $ x $ se aproxima de 2 pela esquerda ($ 1 \leq x < 2 $) é:
x = 2
  • O valor da função em $ x = 2 $ é:
x
Para continuidade:
1 <= x < 2 çã

Passo 5

Agora, temos um sistema de duas equações:
  1. $ a + b = 3 $
  2. $ 2a + b = 4 $
Vamos resolver esse sistema. Subtraindo a Equação 1 da Equação 2:
a + b = 3
Com $ a = 1 $, substituímos na Equação 1:
2a + b = 4

Passo 6

Agora, vamos para a parte b) da função:
f(x) = a x, & se x < 1 x^2 + b x + 1, & se x >= 1
Precisamos garantir continuidade em $ x = 1 $.

Passo 7

Em $ x = 1 $:
  • O limite pela esquerda ($ x < 1 $) é:
x = 1
  • O valor da função em $ x = 1 $ é:
x < 1
Igualando para continuidade:
limx to 1^- f(x) = a times 1 = a

Resposta

Para a parte a), os valores são $ a = 1 $ e $ b = 2 $.
Para a parte b), os valores devem satisfazer $ a = b + 2 $.

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