Determine os valores de
e
para que a função
dada seja contínua em todo o seu domínio.
a)
b)
a)
b)
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar os valores de $ a $ e $ b $ para que a função $ f $ seja contínua em todo o seu domínio. A matéria que vamos usar aqui é continuidade de funções por partes. Precisamos garantir que não haja “saltos” na função nos pontos onde ela muda de expressão.
Passo 2
Vamos começar pela parte a) da função:
Para que $ f(x) $ seja contínua, os limites laterais devem ser iguais nos pontos onde a função muda de expressão, ou seja, em $ x = 1 $ e $ x = 2 $.
Passo 3
Primeiro, vamos analisar em $ x = 1 $:
- O limite quando $ x $ se aproxima de 1 pela esquerda ($ x < 1 $) é:
- O valor da função em $ x = 1 $ é dado por $ a \times 1 + b = a + b $.
Para ser contínua, esses valores devem ser iguais:
Passo 4
Agora, vamos analisar em $ x = 2 $:
- O limite quando $ x $ se aproxima de 2 pela esquerda ($ 1 \leq x < 2 $) é:
- O valor da função em $ x = 2 $ é:
Para continuidade:
Passo 5
Agora, temos um sistema de duas equações:
- $ a + b = 3 $
- $ 2a + b = 4 $
Vamos resolver esse sistema. Subtraindo a Equação 1 da Equação 2:
Com $ a = 1 $, substituímos na Equação 1:
Passo 6
Agora, vamos para a parte b) da função:
Precisamos garantir continuidade em $ x = 1 $.
Passo 7
Em $ x = 1 $:
- O limite pela esquerda ($ x < 1 $) é:
- O valor da função em $ x = 1 $ é:
Igualando para continuidade:
Resposta
Para a parte a), os valores são $ a = 1 $ e $ b = 2 $.
Para a parte b), os valores devem satisfazer $ a = b + 2 $.
Para a parte b), os valores devem satisfazer $ a = b + 2 $.