Determine os pontos da curva
onde as retas tangentes passando por esses pontos intersectam a origem.
Passo 1
O enunciado dá a curva
e pede os pontos
tais que a reta tangente à curva em
passe pela origem. Vamos usar derivadas para obter a inclinação da tangente e impor a condição de que essa reta contenha o ponto
.
Passo 2
A derivada da função é
A equação da reta tangente em
é
Para que essa reta passe pela origem
, basta substituir
,
, obtendo
Passo 3
Vamos escrever
. Como
temos
Dividindo por
, chega-se a
Passo 4
Resolvendo
por raiz racional, testamos
e encontramos
logo
é raiz. Fazendo a divisão sintética, o polinômio fatoriza como
e as raízes de
são
isto é,
e
.
Passo 5
Agora calculamos
em cada raiz: