Determine os pontos da curva y=3 x^3+14 x^2+3 x+8 onde as retas tangentes passando por esses pontos intersectam a origem.

Passo 1

O enunciado dá a curva y=3x^3+14x^2+3x+8 e pede os pontos (a,f(a)) tais que a reta tangente à curva em x=a passe pela origem. Vamos usar derivadas para obter a inclinação da tangente e impor a condição de que essa reta contenha o ponto (0,0).

Passo 2

A derivada da função é
f'(x)=9x^2+28x+3
A equação da reta tangente em x=a é
y - f(a) = f'(a),(x - a)
Para que essa reta passe pela origem (0,0), basta substituir x=0, y=0, obtendo
0 - f(a) = f'(a),(0 - a) Longrightarrow f(a)=a,f'(a)

Passo 3

Vamos escrever f(a)-a,f'(a)=0. Como
f(a)=3a^3+14a^2+3a+8, f'(a)=9a^2+28a+3,
temos
3a^3+14a^2+3a+8 ;-; a(9a^2+28a+3)=0 ;Longrightarrow; -6a^3-14a^2+8=0
Dividindo por -2, chega-se a
3a^3+7a^2-4=0

Passo 4

Resolvendo 3a^3+7a^2-4=0 por raiz racional, testamos a=-1 e encontramos
3(-1)^3+7(-1)^2-4=0,
logo a=-1 é raiz. Fazendo a divisão sintética, o polinômio fatoriza como
(a+1)(3a^2+4a-4)=0,
e as raízes de 3a^2+4a-4=0 são
a=-4pmraiz16+486 =-4pm86,
isto é, a=tfrac23 e a=-2.

Passo 5

Agora calculamos f(a) em cada raiz:
f(-1)=-3+14-3+8=16, f(-2)=-24+56-6+8=34,
fl(tfrac23r) =3l(tfrac827r)+14l(tfrac49r) +3l(tfrac23r)+8 =tfrac8+569+2+8 =tfrac649+10 =tfrac1549

Resposta

(-2,34)
(-1,16)
l(tfrac23,tfrac1549r)

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