Seja f(x)=x^2+1, x>0. Calcule (f^-1)^prime(2).

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular (f^-1)'(2) para a função f(x)=x^2+1, com x>0. O conteúdo necessário é a fórmula da derivada de função inversa:
(f^-1)'(y) = 1f'l(f^-1(y)r)

Passo 2

Para encontrar f^-1(2), resolvemos
x^2 + 1 = 2,
o que dá x^2 = 1 e, como x>0, temos x = 1. Logo,
f^-1(2) = 1

Passo 3

Calculamos a derivada de f:
f'(x) = 2x,
e avaliamos em x=1, obtendo
f'(1) = 2

Passo 4

Aplicando a fórmula da derivada da inversa em y=2, obtemos
(f^-1)'(2) = 1f'(f^-1(2)) = 1f'(1) = 12

Resposta

12

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