Determine se os pontos dados são colineares: \mathrm{A}(4,0,1), \mathrm{B}(5,1,3) e \mathrm{C}(3,2,5)
Passo 1
O enunciado pede para verificar se os três pontos dados pertencem à mesma reta (ou seja, se são colineares).
Pontos fornecidos:
A(4,0,1)
B(5,1,3)
C(3,2,5)
O que devemos responder: dizer se os pontos A, B e C são colineares (sim ou não).
Passo 2
Estratégia escolhida (explicada de forma simples e amigável):
Uma forma direta de testar colinearidade em espaço 3D é usar vetores posição relativos a um mesmo ponto. Se os vetores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC} forem múltiplos escalares um do outro, então \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC} estão na mesma direção (ou em direções opostas) e, portanto, A, B e C são colineares.
Por que isso funciona? Porque dois vetores que são múltiplos escalares representam a mesma linha de ação: um é simplesmente o outro esticado ou invertido. Então basta verificar se existe um escalar t tal que \overrightarrow{AB}=t\,\overrightarrow{AC}.
Opção alternativa seria calcular o produto vetorial \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} e checar se é o vetor nulo; isso dá a mesma conclusão. Aqui uso a verificação por múltiplo escalar porque os componentes são pequenos e fica rápido de checar no papel.
Passo 3
Calcular os vetores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}. Lembre: para dois pontos P(x_1,y_1,z_1) e Q(x_2,y_2,z_2) tem-se \overrightarrow{PQ}=(x_2-x_1,\;y_2-y_1,\;z_2-z_1).
Verificar se existe t\in\mathbb{R} com \overrightarrow{AB}=t\,\overrightarrow{AC}. Isso dá o sistema componente a componente:
1 = t\cdot(-1),
1 = t\cdot 2,
2 = t\cdot 4.
Resolver cada equação isoladamente:
Da primeira: 1 = -t então t = -1.
Da segunda: 1 = 2t então t = \tfrac{1}{2}.
Da terceira: 2 = 4t então t = \tfrac{1}{2}.
As três equações devem dar o mesmo t se os vetores forem proporcionais; aqui a primeira dá t=-1 enquanto a segunda e a terceira dão t=\tfrac{1}{2}. Há uma contradição: não existe um único escalar t que satisfaça todas as componentes ao mesmo tempo.
Portanto \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC} não são múltiplos escalares, logo os pontos A, B e C não estão na mesma reta.
(Se preferir uma verificação curta alternativa: o produto vetorial seria diferente do vetor nulo; por exemplo, calculando \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(1,1,2)\times(-1,2,4) obtém-se um vetor não nulo, o que confirma a não colinearidade.)
Passo 5
Conclusão final explicada de forma motivadora: como não encontramos um mesmo escalar que transforme \overrightarrow{AC} em \overrightarrow{AB}, os vetores não estão na mesma direção. Logo os três pontos não são colineares — ou seja, não pertencem a uma mesma reta.