A dimensão de S é:
(A) 3
(B) 8
(C) 4
(D) 7
(E) 2
(F) 10
(G) 9
(H) 6
Passo 1
O enunciado dá o conjunto S\subset\mathbb{R}^{10}\) dos vetores \(\left(x_{1},\ldots,x_{10}\right)\) que satisfazem as quatro igualdades (peguei todas do enunciado):
\[\begin{cases} x_{9}=x_{6},\\[4pt] x_{8}=x_{10},\\[4pt] x_{7}=x_{1},\\[4pt] x_{8}+x_{9}=x_{10}+x_{6}. \end{cases}
O que se pede: determinar a dimensão de (S] (ou seja, quantos graus de liberdade/variáveis livres restam quando essas restrições são impostas).]
Passo 2
Ideia geral (ferramenta que vou usar): essas igualdades são restrições lineares entre as coordenadas de um vetor em \mathbb{R}^{10}. Para um sistema linear homogêneo com n variáveis e posto (rank) r de suas restrições, o subespaço solução tem dimensão
\text{dim} = n - r.
Aqui n=10. Então preciso descobrir quantas restrições são linearmente independentes (ou seja, o posto r).
Passo 3
Escrever as quatro equações como equações lineares na forma padrão (todas homogêneas):
Portanto a quarta equação é exatamente a soma da primeira e da segunda. Conclusão: a quarta equação é redundante (não fornece nova restrição independentemente das outras duas).
Passo 5
Logo, das quatro equações originais apenas três são linearmente independentes: as equações