Q12: Seja S o conjunto dos \left(x_{1}, \ldots, x_{10}\right) \in \mathbb{R}^{10} tais que:
\left\{\begin{array}{c} x_{9}=x_{6} \\\ x_{8}=x_{10} \\\ x_{7}=x_{1} \\\ x_{8}+x_{9}=x_{10}+x_{6} \end{array}\right.
A dimensão de S é:
(A) 3
(B) 8
(C) 4
(D) 7
(E) 2
(F) 10
(G) 9
(H) 6

Passo 1

O enunciado dá o conjunto S\subset\mathbb{R}^{10}\) dos vetores \(\left(x_{1},\ldots,x_{10}\right)\) que satisfazem as quatro igualdades (peguei todas do enunciado): \[\begin{cases} x_{9}=x_{6},\\[4pt] x_{8}=x_{10},\\[4pt] x_{7}=x_{1},\\[4pt] x_{8}+x_{9}=x_{10}+x_{6}. \end{cases}
O que se pede: determinar a dimensão de (S] (ou seja, quantos graus de liberdade/variáveis livres restam quando essas restrições são impostas).]

Passo 2

Ideia geral (ferramenta que vou usar): essas igualdades são restrições lineares entre as coordenadas de um vetor em \mathbb{R}^{10}. Para um sistema linear homogêneo com n variáveis e posto (rank) r de suas restrições, o subespaço solução tem dimensão
\text{dim} = n - r.
Aqui n=10. Então preciso descobrir quantas restrições são linearmente independentes (ou seja, o posto r).

Passo 3

Escrever as quatro equações como equações lineares na forma padrão (todas homogêneas):
\begin{aligned} &x_{9}-x_{6}=0,\\[4pt] &x_{8}-x_{10}=0,\\[4pt] &x_{7}-x_{1}=0,\\[4pt] &x_{8}+x_{9}-x_{10}-x_{6}=0. \end{aligned}
Cada uma é uma combinação linear das componentes x_1,\dots,x_{10}.]

Passo 4

Verificar dependência linear entre as equações (isto é, se alguma é combinação linear das outras). Note que
(x_{8}-x_{10})+(x_{9}-x_{6})=x_{8}+x_{9}-x_{10}-x_{6}.
Portanto a quarta equação é exatamente a soma da primeira e da segunda. Conclusão: a quarta equação é redundante (não fornece nova restrição independentemente das outras duas).

Passo 5

Logo, das quatro equações originais apenas três são linearmente independentes: as equações
x_{9}=x_{6},\qquad x_{8}=x_{10},\qquad x_{7}=x_{1}
são independentes entre si. Assim o posto r das restrições é r=3.

Passo 6

Aplicando a fórmula \text{dim}=n-r com n=10 e r=3, obtemos
\text{dim}(S)=10-3=7.
Para ver isso de modo construtivo (útil na prova): escolha como variáveis livres as coordenadas não fixadas pelas restrições, por exemplo
x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5},x_{6},x_{10}
são livres (sete parâmetros). As demais são determinados por
x_{7}=x_{1},\qquad x_{8}=x_{10},\qquad x_{9}=x_{6}.
Assim cada vetor em S tem a forma
\left(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5},x_{6},x_{1},x_{10},x_{6},x_{10}\right),
mostrando explicitamente os 7 graus de liberdade.

Resposta

7

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