Q2: Em cada opção abaixo, há dois sistemas lineares nas variáveis x, y e z. Em que op ção os conjuntoss solução de ambos os sistemas têm dimensão 1 , isto é, são retas em \mathbb{R}^{3} ?
\begin{aligned} & \text { (A) }\left\{\begin{array}{r} 5 x+2 y+6 z=7, \\\\ 3 x+9 y=8, \\\ x=4 . \end{array}\right. \\\ & \text { (B) }\left\{\begin{array}{r} 15 x+6 y+18 z=21, \\\\ -36 x-32 z=-16 . \\\\ -35 x-45 y-15 z=-10, \\\\ 24 y+8 z=12 . \end{array}\right. \\\ & \text { \text{(C)} }\left\{\begin{array}{r} 15 x+6 y+18 z=21, \\\\ -20 x-8 y-24 z=-28 . \end{array}\right. \\\ & \text { (D) }\left\{\begin{array}{r} -25 x-10 y-30 z=-35, \\\\ 36 x+32 z=16 . \\\\ 21 x+15 y+6 z=18, \\\\ -28 x-20 y-8 z=-24 . \\\\ 24 y+8 z=12 . \end{array}\right. \\\ & \text { (E) }\left\{\begin{array}{r} 7 x+9 y+3 z=2, \\\\ 6 y+2 z=3, \\\\ -25 x-10 y-30 z=-35, \\\\ 12 x+36 y=32, \\\ x=4 . \end{array}\right. \\\ & \text { (F) }\left\{\begin{array}{r} 5 x+2 y+6 z=7, \\\\ -25 x-10 y-30 z=-35, \\\\ 3 x+9 y=8 . \end{array}\right. \\\ & \left\{\begin{array}{r} 20 x+8 y+24 z=28, \\\\ -45 x-40 z=-20 . \\\\ -9 x-27 y=-24, \\\\ 15 x+45 y=40 . \end{array}\right. \\\ & \left\{\begin{array}{r} 7 x+5 y+2 z=6, \\\\ 9 x+8 z=4, \\\\ 27 x+24 z=12 . \end{array}\right. \end{aligned}

Passo 1

O que o enunciado pede: identificar em qual opção (A, B, C, D, E ou F) os dois sistemas lineares apresentados têm conjuntos solução de dimensão 1 (ou seja, são retas em \mathbb{R}^3).
Informações dadas (peguei estas equações do enunciado exatamente como foram fornecidas):
  • Opção A — sistema 1: \begin{cases} 5x+2y+6z=7,\\[4pt] 3x+9y=8,\\[4pt] x=4. \end{cases}
  • Opção B — sistema 1: \begin{cases} 15x+6y+18z=21,\\[4pt] -36x-32z=-16,\\[4pt] -35x-45y-15z=-10,\\[4pt] 24y+8z=12. \end{cases}
  • Opção C — sistema 1: \begin{cases} 15x+6y+18z=21,\\[4pt] -20x-8y-24z=-28. \end{cases}
  • Opção D — sistema 1: \begin{cases} -25x-10y-30z=-35,\\[4pt] 36x+32z=16,\\[4pt] 21x+15y+6z=18,\\[4pt] -28x-20y-8z=-24,\\[4pt] 24y+8z=12. \end{cases}
  • Opção E — sistema 1: \begin{cases} 7x+9y+3z=2,\\[4pt] 6y+2z=3,\\[4pt] -25x-10y-30z=-35,\\[4pt] 12x+36y=32,\\[4pt] x=4. \end{cases}
  • Opção F — sistema 1: \begin{cases} 5x+2y+6z=7,\\[4pt] -25x-10y-30z=-35,\\[4pt] 3x+9y=8. \end{cases}
Além disso, no final do enunciado há dois outros sistemas (sem etiqueta de opção):
  • Sistema X: \begin{cases} 20x+8y+24z=28,\\[4pt] -45x-40z=-20,\\[4pt] -9x-27y=-24,\\[4pt] 15x+45y=40. \end{cases}
  • Sistema Y: \begin{cases} 7x+5y+2z=6,\\[4pt] 9x+8z=4,\\[4pt] 27x+24z=12. \end{cases}
Observação importante: o enunciado afirma que “em cada opção abaixo, há dois sistemas”, mas a listagem que recebi aparece desorganizada (há 6 blocos rotulados A–F e apenas 2 blocos adicionais sem rótulo). Ou seja, NÃO está explícita a correspondência “cada opção → dois sistemas” no texto que recebi. Por isso há ambiguidade sobre quais pares de sistemas pertencem a cada opção.]

Passo 2

Conceito-chave que vamos usar (aula curta e prática):
  • Um sistema linear em 3 variáveis tem espaço de soluções que é um subespaço afim de \mathbb{R}^3. Se o sistema for consistente e a matriz de coeficientes tiver posto (rank) r, então a dimensão do espaço de soluções é \dim(\text{solução}) = 3 - r,çãporque há 3 variáveis e r restrições linearmente independentes.
  • Para o conjunto solução ser uma reta (dimensão 1) precisamos de r = 2e o sistema ser consistente (ou seja, as equações não entrarem em contradição).
  • Se r=3 temos solução única (ponto, dimensão 0). Se r=1 temos plano (dimensão 2). Se o sistema for inconsistente, o conjunto solução é vazio.
Como checar r na prática sem fazer eliminação completa:
  • Verificar quantas equações são linearmente independentes (por inspeção ou fazendo combinações simples).
  • Reduzir linhas por fatores comuns e ver se uma equação é combinação linear das outras.
  • Se existirem exatamente duas equações independentes entre as três variáveis e o sistema for consistente, então a solução será uma reta.

Passo 3

Estratégia aplicada aqui:
  • Para cada sistema (cada bloco de equações que extraí do enunciado) vou simplificar equações (dividir por escalares simples) e verificar independência entre as equações. A partir daí determino o posto r da matriz de coeficientes e verificar consistência (se as combinações lineares das equações homogêneas nas colunas também satisfazem os termos independentes).
  • Lembrete: toda equação que é múltiplo escalar exato de outra não aumenta o posto.
Vou analisar, um a um, os blocos de equações que eu realmente tenho.

Passo 4

Sistema:
\begin{cases} 5x+2y+6z=7,\\[4pt] 3x+9y=8,\\[4pt] x=4. \end{cases}
Resolver passo a passo:
  • Da última equação \;x=4\;.
  • Substituindo em \;3x+9y=8\; obtém-se \;3\cdot4 + 9y = 8 \Rightarrow 12 + 9y = 8 \Rightarrow 9y = -4 \Rightarrow y = -\dfrac{4}{9}.
  • Substituindo x=4 e y=-\dfrac{4}{9} na primeira equação: 5\cdot4 + 2\left(-\dfrac{4}{9}\right) + 6z = 7.Calculando: 20 - \dfrac{8}{9} + 6z = 7 \Rightarrow 6z = 7-20+\dfrac{8}{9} = -13 + \dfrac{8}{9} = -\dfrac{109}{9},então z = -\dfrac{109}{54}.
Conclusão: existe uma solução única \Rightarrow posto r=3 \Rightarrow dimensão da solução =0. Não é uma reta.]

Passo 5

Sistema (simplifico algumas equações dividindo por fatores comuns):
\begin{cases} 5x+2y+6z=7,\\[4pt] 9x+8z=4,\\[4pt] 7x+9y+3z=2,\\[4pt] 6y+2z=3. \end{cases}
(estas formas foram obtidas dividindo as equações originais por constantes óbvias).
Verificação de independência:
  • Tomando as três primeiras linhas como matrizes 3\times3, \begin{vmatrix} 5 & 2 & 6\\[2pt] 9 & 0 & 8\\[2pt] 7 & 9 & 3 \end{vmatrix}o determinante calculado dá diferente de zero (cálculo: 184, portanto não nulo).
    Conclusão: posto r=3 \Rightarrow solução única (dimensão 0). Não é reta.]

Passo 6

Sistema:
\begin{cases} 15x+6y+18z=21,\\[4pt] -20x-8y-24z=-28. \end{cases}
Simplificando:
  • A primeira é equivalente a 5x+2y+6z=7.
  • A segunda, dividindo por -4, também é 5x+2y+6z=7.
    Portanto as duas equações são a mesma. Posto r=1. Sistema consistente (mesma RHS). Dimensão das soluções =3-1=2 (um plano). Não é reta.]

Passo 7

Sistema simplificado (cada equação dividida para ficar mais clara):
\begin{cases} 5x+2y+6z=7,\\[4pt] 9x+8z=4,\\[4pt] 7x+5y+2z=6,\\[4pt] 7x+5y+2z=6,\\[4pt] 6y+2z=3. \end{cases}
(duas equações apareceram idênticas após simplificação).
Escolhendo três linhas independentes, por exemplo
\;[5\\\ 2\\\ 6],\;[9\\\ 0\\\ 8],\;[7\\\ 5\\\ 2]\;, o determinante é diferente de zero (cálculo deu 146).
Conclusão: posto r=3 \Rightarrow solução única (dimensão 0). Não é reta.]

Passo 8

Sistema (simplificado parcialmente):
\begin{cases} 7x+9y+3z=2,\\[4pt] 6y+2z=3,\\[4pt] 5x+2y+6z=7,\\[4pt] 3x+9y=8,\\[4pt] x=4. \end{cases}
Resolver usando x=4:
  • De 3x+9y=8 obtemos y=-\dfrac{4}{9}.
  • De 6y+2z=3 obtemos 2z = 3 - 6y = 3 - 6(-\tfrac{4}{9}) = 3 + \tfrac{24}{9} = 3 + \tfrac{8}{3} = \tfrac{17}{3}, logo z=\tfrac{17}{6}.
  • Testando na primeira equação 7x+9y+3z: substituindo x=4,\; y=-\tfrac{4}{9},\; z=\tfrac{17}{6} obtemos 7\cdot4 + 9\left(-\tfrac{4}{9}\right) + 3\cdot\tfrac{17}{6} = 28 -4 + \tfrac{51}{6} = 24 + \tfrac{51}{6} = \tfrac{195}{6} \neq 2.
Portanto as equações são contraditórias: o sistema é inconsistente (conjunto solução vazio). Logo não é uma reta.]

Passo 9

Sistema:
\begin{cases} 5x+2y+6z=7,\\[4pt] -25x-10y-30z=-35,\\[4pt] 3x+9y=8. \end{cases}
Observação: a segunda equação é exatamente -5\) vezes a primeira, então não acrescenta restrição nova. Portanto o sistema efetivamente tem duas equações independentes: \[\begin{cases} 5x+2y+6z=7,\\[4pt] 3x+9y=8. \end{cases}
Duas equações linearmente independentes em três variáveis \Rightarrow\] posto \(r=2.
Verificação de consistência: substituir x em função de y a partir da segunda equação:
3x+9y=8 \Rightarrow x=\dfrac{8-9y}{3}.
Substituindo na primeira equação obtém-se uma relação entre y e z que admite infinitas soluções parametricamente (por exemplo, escolher y livre e obter z). Logo o sistema é consistente e o conjunto solução tem dimensão 3-2=1: uma reta em \mathbb{R}^3.
Conclusão: este bloco (o sistema rotulado F no enunciado recebido) tem solução que é uma reta.]

Passo 10

Sistema X (simplificado):
\begin{cases} 5x+2y+6z=7,\\[4pt] 9x+8z=4,\\[4pt] 3x+9y=8,\\[4pt] x+3y=\tfrac{8}{3}. \end{cases}
(A quarta equação vem de simplificar 15x+45y=40.)
Note que a terceira e a quarta linhas são compatíveis (a quarta é \tfrac{1}{3} da terceira vezes fator ou consequência numérica), e escolhendo as três equações [5\\\ 2\\\ 6],\;[9\\\ 0\\\ 8],\;[3\\\ 9\\\ 0] o determinante é diferente de zero (cálculo deu 174). Portanto posto r=3 \Rightarrow solução única (dimensão 0). Não é reta.]

Passo 11

Sistema Y:
\begin{cases} 7x+5y+2z=6,\\[4pt] 9x+8z=4,\\[4pt] 27x+24z=12. \end{cases}
Observação: a terceira equação é 3\) vezes a segunda (\(27x+24z = 3(9x+8z)\)), portanto é redundante. Restam duas equações independentes: \[\begin{cases} 7x+5y+2z=6,\\[4pt] 9x+8z=4. \end{cases}
Duas equações independentes \Rightarrow\] posto \(r=2. São consistentes (pode-se parametrizar e obter uma família com um parâmetro livre). Logo o conjunto solução tem dimensão 3-2=1: uma reta em \mathbb{R}^3.
Conclusão: este bloco (o último bloco listado) tem solução que é uma reta.]

Passo 12

Dos blocos que aparecem no enunciado fornecido, as dimensões das soluções são:
  • Bloco A: dimensão 0 (ponto).
  • Bloco B: dimensão 0 (ponto).
  • Bloco C: dimensão 2 (plano).
  • Bloco D: dimensão 0 (ponto).
  • Bloco E: inconsistente (conjunto vazio).
  • Bloco F: dimensão 1 (reta).
  • Sistema X (não rotulado): dimensão 0 (ponto).
  • Sistema Y (não rotulado): dimensão 1 (reta).
Ou seja, os dois blocos que resultaram em retas são:
  • O bloco rotulado F: \{\,5x+2y+6z=7,\\\ -25x-10y-30z=-35,\\\ 3x+9y=8\,\}.
  • O bloco final não rotulado Y: \{\,7x+5y+2z=6,\\\ 9x+8z=4,\\\ 27x+24z=12\,\}.

Passo 13

Como o enunciado afirma que em cada opção há dois sistemas, eu precisaria da correspondência explícita — isto é, saber quais dois blocos de equações pertencem conjuntamente a A, a B, a C, etc. No material que recebi essa correspondência está ambígua/incompleta: há 6 blocos rotulados (A–F) e apenas 2 blocos adicionais sem rótulo, então não é possível afirmar com certeza “na opção X ambos os sistemas são retas” sem saber como os blocos estão emparelhados por opção.
No entanto, identifiquei quais blocos, por si só, têm solução de dimensão 1: o bloco rotulado F e o último bloco (o que chamei de Sistema Y). Se a intenção original do enunciado era que a opção que contém esses dois sistemas seja a resposta, então a opção correspondente seria aquela que emparelha exatamente esses dois blocos — mas essa associação não está explícita no enunciado recebido.

Resposta

Não é possível determinar com certeza a opção porque o enunciado recebido está ambíguo (não há correspondência explícita entre os pares de sistemas e as opções).

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