Q2: Em cada opção abaixo, há dois sistemas lineares nas variáveis x, y e z. Em que op ção os conjuntoss solução de ambos os sistemas têm dimensão 1 , isto é, são retas em \mathbb{R}^{3} ?
O que o enunciado pede: identificar em qual opção (A, B, C, D, E ou F) os dois sistemas lineares apresentados têm conjuntos solução de dimensão 1 (ou seja, são retas em \mathbb{R}^3).
Informações dadas (peguei estas equações do enunciado exatamente como foram fornecidas):
Opção A — sistema 1:\begin{cases} 5x+2y+6z=7,\\[4pt] 3x+9y=8,\\[4pt] x=4. \end{cases}
Opção B — sistema 1:\begin{cases} 15x+6y+18z=21,\\[4pt] -36x-32z=-16,\\[4pt] -35x-45y-15z=-10,\\[4pt] 24y+8z=12. \end{cases}
Opção C — sistema 1:\begin{cases} 15x+6y+18z=21,\\[4pt] -20x-8y-24z=-28. \end{cases}
Opção D — sistema 1:\begin{cases} -25x-10y-30z=-35,\\[4pt] 36x+32z=16,\\[4pt] 21x+15y+6z=18,\\[4pt] -28x-20y-8z=-24,\\[4pt] 24y+8z=12. \end{cases}
Opção E — sistema 1:\begin{cases} 7x+9y+3z=2,\\[4pt] 6y+2z=3,\\[4pt] -25x-10y-30z=-35,\\[4pt] 12x+36y=32,\\[4pt] x=4. \end{cases}
Opção F — sistema 1:\begin{cases} 5x+2y+6z=7,\\[4pt] -25x-10y-30z=-35,\\[4pt] 3x+9y=8. \end{cases}
Além disso, no final do enunciado há dois outros sistemas (sem etiqueta de opção):
Sistema X:\begin{cases} 20x+8y+24z=28,\\[4pt] -45x-40z=-20,\\[4pt] -9x-27y=-24,\\[4pt] 15x+45y=40. \end{cases}
Sistema Y:\begin{cases} 7x+5y+2z=6,\\[4pt] 9x+8z=4,\\[4pt] 27x+24z=12. \end{cases}
Observação importante: o enunciado afirma que “em cada opção abaixo, há dois sistemas”, mas a listagem que recebi aparece desorganizada (há 6 blocos rotulados A–F e apenas 2 blocos adicionais sem rótulo). Ou seja, NÃO está explícita a correspondência “cada opção → dois sistemas” no texto que recebi. Por isso há ambiguidade sobre quais pares de sistemas pertencem a cada opção.]
Passo 2
Conceito-chave que vamos usar (aula curta e prática):
Um sistema linear em 3 variáveis tem espaço de soluções que é um subespaço afim de \mathbb{R}^3. Se o sistema for consistente e a matriz de coeficientes tiver posto (rank) r, então a dimensão do espaço de soluções é\dim(\text{solução}) = 3 - r,çãporque há 3 variáveis e r restrições linearmente independentes.
Para o conjunto solução ser uma reta (dimensão 1) precisamos der = 2e o sistema ser consistente (ou seja, as equações não entrarem em contradição).
Se r=3 temos solução única (ponto, dimensão 0). Se r=1 temos plano (dimensão 2). Se o sistema for inconsistente, o conjunto solução é vazio.
Como checar r na prática sem fazer eliminação completa:
Verificar quantas equações são linearmente independentes (por inspeção ou fazendo combinações simples).
Reduzir linhas por fatores comuns e ver se uma equação é combinação linear das outras.
Se existirem exatamente duas equações independentes entre as três variáveis e o sistema for consistente, então a solução será uma reta.
Passo 3
Estratégia aplicada aqui:
Para cada sistema (cada bloco de equações que extraí do enunciado) vou simplificar equações (dividir por escalares simples) e verificar independência entre as equações. A partir daí determino o posto r da matriz de coeficientes e verificar consistência (se as combinações lineares das equações homogêneas nas colunas também satisfazem os termos independentes).
Lembrete: toda equação que é múltiplo escalar exato de outra não aumenta o posto.
Vou analisar, um a um, os blocos de equações que eu realmente tenho.
(estas formas foram obtidas dividindo as equações originais por constantes óbvias).
Verificação de independência:
Tomando as três primeiras linhas como matrizes 3\times3,\begin{vmatrix} 5 & 2 & 6\\[2pt] 9 & 0 & 8\\[2pt] 7 & 9 & 3 \end{vmatrix}o determinante calculado dá diferente de zero (cálculo: 184, portanto não nulo).
Conclusão: posto r=3\Rightarrow solução única (dimensão 0). Não é reta.]
A segunda, dividindo por -4, também é 5x+2y+6z=7.
Portanto as duas equações são a mesma. Posto r=1. Sistema consistente (mesma RHS). Dimensão das soluções =3-1=2 (um plano). Não é reta.]
Passo 7
Sistema simplificado (cada equação dividida para ficar mais clara):
(duas equações apareceram idênticas após simplificação).
Escolhendo três linhas independentes, por exemplo \;[5\\\ 2\\\ 6],\;[9\\\ 0\\\ 8],\;[7\\\ 5\\\ 2]\;, o determinante é diferente de zero (cálculo deu 146).
Conclusão: posto r=3\Rightarrow solução única (dimensão 0). Não é reta.]
Observação: a segunda equação é exatamente -5\) vezes a primeira, então não acrescenta restrição nova. Portanto o sistema efetivamente tem duas equações independentes:
\[\begin{cases} 5x+2y+6z=7,\\[4pt] 3x+9y=8. \end{cases}
Duas equações linearmente independentes em três variáveis \Rightarrow\] posto \(r=2.
Verificação de consistência: substituir x em função de y a partir da segunda equação:
3x+9y=8 \Rightarrow x=\dfrac{8-9y}{3}.
Substituindo na primeira equação obtém-se uma relação entre y e z que admite infinitas soluções parametricamente (por exemplo, escolher y livre e obter z). Logo o sistema é consistente e o conjunto solução tem dimensão 3-2=1: uma reta em \mathbb{R}^3.
Conclusão: este bloco (o sistema rotulado F no enunciado recebido) tem solução que é uma reta.]
(A quarta equação vem de simplificar 15x+45y=40.)
Note que a terceira e a quarta linhas são compatíveis (a quarta é \tfrac{1}{3} da terceira vezes fator ou consequência numérica), e escolhendo as três equações [5\\\ 2\\\ 6],\;[9\\\ 0\\\ 8],\;[3\\\ 9\\\ 0] o determinante é diferente de zero (cálculo deu 174). Portanto posto r=3\Rightarrow solução única (dimensão 0). Não é reta.]
Observação: a terceira equação é 3\) vezes a segunda (\(27x+24z = 3(9x+8z)\)), portanto é redundante. Restam duas equações independentes:
\[\begin{cases} 7x+5y+2z=6,\\[4pt] 9x+8z=4. \end{cases}
Duas equações independentes \Rightarrow\] posto \(r=2. São consistentes (pode-se parametrizar e obter uma família com um parâmetro livre). Logo o conjunto solução tem dimensão 3-2=1: uma reta em \mathbb{R}^3.
Conclusão: este bloco (o último bloco listado) tem solução que é uma reta.]
Passo 12
Dos blocos que aparecem no enunciado fornecido, as dimensões das soluções são:
Bloco A: dimensão 0 (ponto).
Bloco B: dimensão 0 (ponto).
Bloco C: dimensão 2 (plano).
Bloco D: dimensão 0 (ponto).
Bloco E: inconsistente (conjunto vazio).
Bloco F: dimensão 1 (reta).
Sistema X (não rotulado): dimensão 0 (ponto).
Sistema Y (não rotulado): dimensão 1 (reta).
Ou seja, os dois blocos que resultaram em retas são:
O bloco rotulado F: \{\,5x+2y+6z=7,\\\ -25x-10y-30z=-35,\\\ 3x+9y=8\,\}.
O bloco final não rotulado Y: \{\,7x+5y+2z=6,\\\ 9x+8z=4,\\\ 27x+24z=12\,\}.
Passo 13
Como o enunciado afirma que em cada opção há dois sistemas, eu precisaria da correspondência explícita — isto é, saber quais dois blocos de equações pertencem conjuntamente a A, a B, a C, etc. No material que recebi essa correspondência está ambígua/incompleta: há 6 blocos rotulados (A–F) e apenas 2 blocos adicionais sem rótulo, então não é possível afirmar com certeza “na opção X ambos os sistemas são retas” sem saber como os blocos estão emparelhados por opção.
No entanto, identifiquei quais blocos, por si só, têm solução de dimensão 1: o bloco rotulado F e o último bloco (o que chamei de Sistema Y). Se a intenção original do enunciado era que a opção que contém esses dois sistemas seja a resposta, então a opção correspondente seria aquela que emparelha exatamente esses dois blocos — mas essa associação não está explícita no enunciado recebido.
Resposta
Não é possível determinar com certeza a opção porque o enunciado recebido está ambíguo (não há correspondência explícita entre os pares de sistemas e as opções).