Determine se os pontos de descontinuidade da função
f(x)=cc x^2+x-6x+3, & se x neq-3 1, & se x=-3
são removível ou essencial.

Passo 1

A questão pede para identificar pontos de descontinuidade de f e classificá-los como removível ou essencial. O conteúdo envolvido é continuidade de funções e o que caracteriza cada tipo de descontinuidade. Vamos precisar de limites laterais e da definição de f no ponto crítico.

Passo 2

Primeiro, observamos a expressão geral de f para x\u2260−3 e vemos que só há potencial problema em x=−3. Para x\u2260−3, f(x)= x^2+x-6x+3. Fora x=−3, essa expressão define uma função contínua (é um quociente de polinômios onde o denominador não se anula).

Passo 3

Para simplificar e calcular o limite em x=−3, fatoramos o numerador:
x^2+x-6=(x+3)(x-2)

Passo 4

Assim, para x\u2260−3,
f(x)=(x+3)(x-2)x+3=x-2

Passo 5

Portanto o limite quando x→−3 é
limxto-3f(x)=limxto-3(x-2)=-5

Passo 6

A definição da função em x=−3 é f(−3)=1. Como o limite existe (é finito e igual a −5), mas f(−3)≠−5, há descontinuidade em x=−3 e, como o limite existe, essa descontinuidade é removível.

Resposta

O único ponto de descontinuidade é x=−3, e ela é do tipo removível.

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