Use integração por partes (em alguns casos, sucessivas integrações por partes) para calcular a integral indefinida.
(n) integral x e^x(x+1)^2 d x

Passo 1

Estamos querendo calcular a integral indefinida
integral x e^x(x+1)^2,dx
O tópico é integração por partes, mas antes vamos decompor a fração racional para simplificar o processo.

Passo 2

Notamos que
x(x+1)^2=x+1-1(x+1)^2=1x+1-1(x+1)^2
Logo,
integral x e^x(x+1)^2,dx =integral e^xx+1,dx -integral e^x(x+1)^2,dx

Passo 3

Chamamos
I1=integral e^xx+1,dx, I2=integral e^x(x+1)^2,dx,
assim a integral original é
I=I1-I2

Passo 4

Para calcular I2 usamos integração por partes. Seja
u=e^x, dv=1(x+1)^2,dx
o que dá
du=e^x,dx, v=-1x+1
Então
I2=uv-integral v,du =-e^xx+1+integral e^xx+1,dx =-e^xx+1+I1

Passo 5

Substituindo em I=I1-I2, obtemos
I=I1-l(-e^xx+1+I1r)=e^xx+1
Portanto a antiderivada é dada por essa expressão mais a constante de integração.

Resposta

e^xx+1+C

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