Determine os pontos de descontinuidade da função
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar os pontos de descontinuidade da função
Informações dadas: a expressão algébrica de
como uma razão de polinômios, sem nenhum valor de
explicitado como permitido ou proibido.
Passo 2
Lembrete útil sobre continuidade (é importante para identificar descontinuidades). Uma função
é contínua em
se, e somente se:
-
está definida; -
existe (é finito); -
.
No caso de uma função racional (razão de polinômios), a função é contínua em todo ponto onde o denominador é diferente de zero; se o denominador é zero em
, pode haver descontinuidade — que pode ser removível (buraco) se o limite existir finito, ou não removível (por exemplo, infinita/assíntota vertical) se o limite divergir.
Passo 3
Encontremos os pontos onde o denominador é zero, pois são os candidatos a descontinuidade. Resolver
Fatorando o polinômio:
Portanto as raízes são
e
. Conclusão: a função não está definida em
e
. O domínio de
é
.
Passo 4
Observação sobre o numerador:
zera em
. Logo há possibilidade de cancelamento do fator comum
entre numerador e denominador. Para
podemos simplificar:
Isto significa que, fora de
,
coincide com
.
Passo 5
Analisando
. Pelo passo anterior, para
próximos de
(mas
) vale
. Então o limite quando
é
O limite existe e é finito, porém
não está definida (denominador zero). Isso caracteriza uma descontinuidade removível (um “buraco”) em
. Observação prática: se definíssemos
a função ficaria contínua em
.
Passo 6
Analisando
. Para
próximos de
(e
) temos novamente, quando
,
. Calculamos as limites laterais:
As duas infinitudes têm sinais opostos, logo o limite
não existe (diverge para infinito). Além disso
não está definida. Isso caracteriza uma descontinuidade não-removível do tipo infinita (assíntota vertical) em
.
Passo 7
Conclusão: os únicos pontos de descontinuidade são
e
. Em
a descontinuidade é removível (buraco); em
é uma descontinuidade infinita (assíntota vertical).