Determine os pontos de descontinuidade da função f(x)=\frac{x+1}{x^{2}-x-2}.

Passo 1

O enunciado pede: determinar os pontos de descontinuidade da função
f(x)=\frac{x+1}{x^{2}-x-2}.
Informações dadas: a expressão algébrica de f(x) como uma razão de polinômios, sem nenhum valor de x explicitado como permitido ou proibido.

Passo 2

Lembrete útil sobre continuidade (é importante para identificar descontinuidades). Uma função g é contínua em a se, e somente se:
  1. g(a) está definida;
  2. \lim_{x\to a} g(x) existe (é finito);
  3. \lim_{x\to a} g(x)=g(a).
No caso de uma função racional (razão de polinômios), a função é contínua em todo ponto onde o denominador é diferente de zero; se o denominador é zero em a, pode haver descontinuidade — que pode ser removível (buraco) se o limite existir finito, ou não removível (por exemplo, infinita/assíntota vertical) se o limite divergir.

Passo 3

Encontremos os pontos onde o denominador é zero, pois são os candidatos a descontinuidade. Resolver
x^{2}-x-2=0.
Fatorando o polinômio:
x^{2}-x-2=(x-2)(x+1).
Portanto as raízes são x=2 e x=-1. Conclusão: a função não está definida em x=2 e x=-1. O domínio de f é \mathbb{R}\setminus\{-1,2\}.

Passo 4

Observação sobre o numerador: x+1 zera em x=-1. Logo há possibilidade de cancelamento do fator comum (x+1) entre numerador e denominador. Para x\neq-1 podemos simplificar:
f(x)=\frac{x+1}{(x+1)(x-2)}=\frac{1}{x-2}\qquad (x\neq-1).
Isto significa que, fora de x=-1, f(x) coincide com \dfrac{1}{x-2}.

Passo 5

Analisando x=-1. Pelo passo anterior, para x próximos de -1 (mas x\neq-1) vale f(x)=\dfrac{1}{x-2}. Então o limite quando x\to-1 é
\lim_{x\to-1} f(x)=\lim_{x\to-1}\frac{1}{x-2}=\frac{1}{-1-2}=\frac{1}{-3}=-\frac{1}{3}.
O limite existe e é finito, porém f(-1) não está definida (denominador zero). Isso caracteriza uma descontinuidade removível (um “buraco”) em x=-1. Observação prática: se definíssemos f(-1)=-\tfrac{1}{3} a função ficaria contínua em -1.

Passo 6

Analisando x=2. Para x próximos de 2 (e x\neq2) temos novamente, quando x\neq-1, f(x)=\dfrac{1}{x-2}. Calculamos as limites laterais:
\lim_{x\to 2^-} f(x)=\lim_{x\to 2^-}\frac{1}{x-2}=-\infty, \qquad \lim_{x\to 2^+} f(x)=\lim_{x\to 2^+}\frac{1}{x-2}=+\infty.
As duas infinitudes têm sinais opostos, logo o limite \lim_{x\to2} f(x) não existe (diverge para infinito). Além disso f(2) não está definida. Isso caracteriza uma descontinuidade não-removível do tipo infinita (assíntota vertical) em x=2.

Passo 7

Conclusão: os únicos pontos de descontinuidade são x=-1 e x=2. Em x=-1 a descontinuidade é removível (buraco); em x=2 é uma descontinuidade infinita (assíntota vertical).

Resposta

x=-1 (descontinuidade removível — buraco)
x=2 (descontinuidade infinita — assíntota vertical)

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