Calcule o limite:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(2+x)^{3}-8}{x}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{(2+x)^{3}-8}{x}.
Informações dadas:
  • A expressão no numerador é (2+x)^{3}-8.
  • O denominador é x.
    O que é pedido: calcular o valor do limite quando x tende a 0.

Passo 2

Primeiro cheque rápido do tipo de indeterminação: substituindo x=0 no numerador temos (2+0)^{3}-8=8-8=0 e no denominador x=0. Logo a forma é 0/0, que é uma indeterminação. Isso indica que precisamos simplificar a expressão antes de avaliar o limite.

Passo 3

Uma forma bem direta de simplificar é expandir o cubo usando a fórmula do binômio:
(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}.
Aqui tome a=2 e b=x. Aplicando a fórmula:
(2+x)^{3}=2^{3}+3\cdot 2^{2}\,x+3\cdot 2\,x^{2}+x^{3}.

Passo 4

Calcule termo a termo:
2^{3}=8,\qquad 3\cdot 2^{2}\,x=3\cdot 4\,x=12x,\qquad 3\cdot 2\,x^{2}=6x^{2},\qquad x^{3}=x^{3}.
Portanto
(2+x)^{3}=8+12x+6x^{2}+x^{3}.

Passo 5

Substituindo essa expansão no numerador:
(2+x)^{3}-8=(8+12x+6x^{2}+x^{3})-8=12x+6x^{2}+x^{3}.
Agora a expressão do quociente fica
\frac{(2+x)^{3}-8}{x}=\frac{12x+6x^{2}+x^{3}}{x}.

Passo 6

Fatore x no numerador para simplificar:
12x+6x^{2}+x^{3}=x(12+6x+x^{2}),
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\frac{12x+6x^{2}+x^{3}}{x}=12+6x+x^{2},
desde que x\neq0. Essa expressão já não é mais indeterminada quando x\to0.

Passo 7

Agora tome o limite da expressão simplificada: ao fazer x\rightarrow 0 os termos com x desaparecem e a expressão passa a ser 12.
Como alternativa rápida (ideia útil para prova): reconheça que a expressão original é do tipo \dfrac{f(2+x)-f(2)}{x} com f(t)=t^{3}; esse quociente tende a f'(2). Como f'(t)=3t^{2}, temos f'(2)=3\cdot 2^{2}=12. Isso confirma o mesmo resultado.

Resposta

12

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