Calcule o limite:
Passo 1
O enunciado pede o limite
Informações dadas:
- A expressão no numerador é
. - O denominador é
.
O que é pedido: calcular o valor do limite quandotende a .
Passo 2
Primeiro cheque rápido do tipo de indeterminação: substituindo
no numerador temos
e no denominador
. Logo a forma é
, que é uma indeterminação. Isso indica que precisamos simplificar a expressão antes de avaliar o limite.
Passo 3
Uma forma bem direta de simplificar é expandir o cubo usando a fórmula do binômio:
Aqui tome
e
. Aplicando a fórmula:
Passo 4
Calcule termo a termo:
Portanto
Passo 5
Substituindo essa expansão no numerador:
Agora a expressão do quociente fica
Passo 6
Fatore
no numerador para simplificar:
logo
desde que
. Essa expressão já não é mais indeterminada quando
.
Passo 7
Agora tome o limite da expressão simplificada: ao fazer
os termos com
desaparecem e a expressão passa a ser
.
Como alternativa rápida (ideia útil para prova): reconheça que a expressão original é do tipo
com
; esse quociente tende a
. Como
, temos
. Isso confirma o mesmo resultado.