e pede para verificar se f é contínua em x=2.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A expressão de f à esquerda de 2 é 2x+1.
A expressão de f à direita de 2 é 4x-3.
A pergunta é se existe continuidade exatamente no ponto x=2.]
Passo 2
O que significa "verificar continuidade em x=2"? Vou explicar de forma direta e prática para a prova. A definição que precisamos usar é:
f\\ \text{é contínua em}\\ a \quad\Longleftrightarrow\quad \lim_{x\to a} f(x)=f(a).éí
Como a função é definida por partes, é útil lembrar que a existência do limite \lim_{x\to a} f(x) exige que os limites laterais existam e coincidam:
\lim_{x\to a^-} f(x)=\lim_{x\to a^+} f(x).
Então, para checar continuidade em x=2 vamos:
calcular \lim_{x\to 2^-} f(x) (aproximação pela esquerda),
calcular \lim_{x\to 2^+} f(x) (pela direita),
calcular f(2), e então comparar.
Observação didática: funções polinomiais ou lineares (como 2x+1 e 4x-3) são contínuas em todos os pontos, o que nos permite calcular seus limites simplesmente substituindo x=2.
Passo 3
Calcular o limite pela esquerda \lim_{x\to 2^-} f(x). Para x<2 (e também em x=2 pela definição da parte), f(x)=2x+1. Como 2x+1 é linear e contínua, o limite é conseguido por substituição: