Verifique se a função f(x)=\left\{\begin{array}{ll}2 x+1, & x \leq 2 \\\\ 4 x-3, & x>2\end{array}\right. é contínua em x=2.

Passo 1

O enunciado nos dá a função por partes
f(x)=\begin{cases} 2x+1, & x\le 2,\\[4pt] 4x-3, & x>2, \end{cases}
e pede para verificar se f é contínua em x=2.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A expressão de f à esquerda de 2 é 2x+1.
  • A expressão de f à direita de 2 é 4x-3.
  • A pergunta é se existe continuidade exatamente no ponto x=2.]

Passo 2

O que significa "verificar continuidade em x=2"? Vou explicar de forma direta e prática para a prova. A definição que precisamos usar é:
f\\ \text{é contínua em}\\ a \quad\Longleftrightarrow\quad \lim_{x\to a} f(x)=f(a).éí
Como a função é definida por partes, é útil lembrar que a existência do limite \lim_{x\to a} f(x) exige que os limites laterais existam e coincidam:
\lim_{x\to a^-} f(x)=\lim_{x\to a^+} f(x).
Então, para checar continuidade em x=2 vamos:
  1. calcular \lim_{x\to 2^-} f(x) (aproximação pela esquerda),
  2. calcular \lim_{x\to 2^+} f(x) (pela direita),
  3. calcular f(2), e então comparar.
Observação didática: funções polinomiais ou lineares (como 2x+1 e 4x-3) são contínuas em todos os pontos, o que nos permite calcular seus limites simplesmente substituindo x=2.

Passo 3

Calcular o limite pela esquerda \lim_{x\to 2^-} f(x). Para x<2 (e também em x=2 pela definição da parte), f(x)=2x+1. Como 2x+1 é linear e contínua, o limite é conseguido por substituição:
\lim_{x\to 2^-} f(x)=\lim_{x\to 2^-} (2x+1)=2\cdot 2+1=5.

Passo 4

Calcular o limite pela direita \lim_{x\to 2^+} f(x). Para x>2, f(x)=4x-3. Novamente, é função linear, então
\lim_{x\to 2^+} f(x)=\lim_{x\to 2^+} (4x-3)=4\cdot 2-3=8-3=5.

Passo 5

Calcular o valor da função no ponto x=2. Como a definição da função indica que a expressão 2x+1 vale para x\le 2, temos
f(2)=2\cdot 2+1=5.

Passo 6

Comparar os três valores obtidos. Encontramos
\lim_{x\to 2^-} f(x)=5,\qquad \lim_{x\to 2^+} f(x)=5,\qquad f(2)=5.
Como os limites laterais existem e coincidem, e esse valor é igual a f(2), segue da definição que f é contínua em x=2.

Resposta

Sim. A função é contínua em x=2.

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