Determine os pontos extremos (se existirem), das funções:
a) f(x, y)=x^2+y^2-2 x-4 y+8;

Passo 1

O enunciado pede para determinar os pontos extremos da função
f(x,y)=x^2+y^2-2x-4y+8
O conteúdo principal envolve encontrar pontos críticos por meio do gradiente e, em seguida, usar a matriz Hessiana para classificar esses pontos.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero para achar os pontos críticos:
partial fpartial x=2x-2, partial fpartial y=2y-4
Impondo 2x-2=0 e 2y-4=0, obtemos
x=1, y=2

Passo 3

Para classificar este ponto, formamos a matriz Hessiana de f:
H = partial^2fpartial x^2 & partial^2fpartial xpartial y partial^2fpartial ypartial x & partial^2fpartial y^2 = 2 & 0 0 & 2
Como H é definida positiva (autovalores iguais a 2>0), o ponto crítico (1,2) é um mínimo.

Passo 4

Calculamos o valor da função nesse ponto:
f(1,2)=1^2+2^2-2cdot1-4cdot2+8=1+4-2-8+8=3

Resposta

A função tem um único ponto crítico em (1,2), que é um mínimo global com valor f(1,2)=3. Não há pontos de máximo.

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