4- Mostre que as funções y(x, t)=A sin (omega t+k x) e y(x, t)=A cos (omega t+k x) satisfazem a equação de onda partial^2 y(x, t)partial x^2-1v^2 partial^2 y(x, t)partial t^2=0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que as funções
y(x,t)=Asin(omega t + kx)
e
y(x,t)=Acos(omega t + kx)
satisfazem a equação de onda
partial^2ypartial x^2 ;-;1v^2partial^2ypartial t^2 ;=;0
O conteúdo aqui é diferenciação parcial e a condição de dispersão omega/k=v.

Passo 2

Para y(x,t)=Asin(omega t + kx) calculamos as derivadas segundas:
partial ypartial x = A,kcos(omega t + kx), partial^2ypartial x^2 = -A,k^2sin(omega t + kx) = -k^2y,
partial ypartial t = A,omegacos(omega t + kx), partial^2ypartial t^2 = -A,omega^2sin(omega t + kx) = -omega^2y
Substituindo na equação de onda:
partial^2ypartial x^2 -1v^2partial^2ypartial t^2 = -k^2y ;-;l(-tfracomega^2v^2yr) = l(-k^2+omega^2v^2r)y

Passo 3

Para que
l(-k^2+tfracomega^2v^2r)y = 0
para todo x,t, basta exigir
-k^2+omega^2v^2=0 Longrightarrow omegak=v
Assim concluímos que y=Asin(omega t+kx) satisfaz a equação de onda sempre que omega/k=v.

Passo 4

No caso y(x,t)=Acos(omega t + kx), o cálculo é análogo: as derivadas segundas são
partial^2ypartial x^2=-k^2Acos(omega t + kx)=-k^2y, partial^2ypartial t^2=-omega^2Acos(omega t + kx)=-omega^2y,
levando ao mesmo termo
l(-k^2+tfracomega^2v^2r)y
e, com omega/k=v, anulando-se. Logo a função também satisfaz a equação de onda.

Resposta

Ambas as funções satisfazem
partial^2ypartial x^2 -1v^2partial^2ypartial t^2 =0
desde que
omega/k=v.

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