- Mostre que, se
for diferenciável em
, então
[Dica: Use a Definição 14.4.7 diretamente.]
Passo 1
O enunciado afirma que
é diferenciável em
e pede para mostrar que
O conteúdo é a definição de diferenciabilidade de funções de várias variáveis.
Passo 2
Pela definição 14.4.7, dizer que
é diferenciável em
significa que existe um mapa linear
tal que
Passo 3
Sabemos também que o gradiente
fornece exatamente esse mapa linear, ou seja,
Passo 4
Façamos a mudança de variável
. Quando
, temos
e
Passo 5
Substituindo na definição de diferenciabilidade, obtemos
Resposta
O limite solicitado vale
.