1. Mostre que, se z=f(x, y) for diferenciável em x0=lang<= x0, y0rang<=, então
lim x x0 f(x)-f(x0)-nabla f(x0) cdot(x-x0)|x-x0|=0
[Dica: Use a Definição 14.4.7 diretamente.]

Passo 1

O enunciado afirma que f:R^2toR é diferenciável em x0=lang<= x0,y0rang<= e pede para mostrar que
limxtox0 f(x)-f(x0)-nabla f(x0)cdot(x-x0) |x-x0|=0
O conteúdo é a definição de diferenciabilidade de funções de várias variáveis.

Passo 2

Pela definição 14.4.7, dizer que f é diferenciável em x0 significa que existe um mapa linear L:R^2toR tal que
limhto0 f(x0+h)-f(x0)-L(h) |h|=0

Passo 3

Sabemos também que o gradiente nabla f(x0) fornece exatamente esse mapa linear, ou seja,
L(h)=nabla f(x0)cdoth

Passo 4

Façamos a mudança de variável h=x-x0. Quando xtox0, temos hto0 e
f(x)-f(x0) -nabla f(x0)cdot(x-x0) = f(x0+h)-f(x0)-L(h)

Passo 5

Substituindo na definição de diferenciabilidade, obtemos
limxtox0 f(x)-f(x0) -nabla f(x0)cdot(x-x0) |x-x0| = limhto0 f(x0+h)-f(x0)-L(h) |h|=0

Resposta

O limite solicitado vale 0.

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