Determine os pontos extremos da função f\left(x_{1}, x_{2}\right)=x_{1}^{2}+x_{1} x_{2}+x_{2}^{2} sujeita à restrição: x_{1}+2 x_{2}=3. Faça o gráfico da função, da restrição e indique o(s) ponto(s) extremos (Use MATLAB para os gráficos da função objetivo e restrição). Use o método de multiplicadores de Lagrange.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos extremos de
f(x_{1},x_{2}) = x_{1}^{2} + x_{1}x_{2} + x_{2}^{2}
sujeito à restrição linear
x_{1} + 2\,x_{2} = 3.
Vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange, que serve para otimizar funções com restrições.

Passo 2

Construímos o Lagrangeano
\mathcal{L}(x_{1},x_{2},\lambda) = x_{1}^{2} + x_{1}x_{2} + x_{2}^{2} - \lambda\bigl(x_{1} + 2\,x_{2} - 3\bigr).
As condições de primeira ordem são
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x_{1}} = 2\,x_{1} + x_{2} - \lambda = 0,
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x_{2}} = x_{1} + 2\,x_{2} - 2\,\lambda = 0,
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \lambda} = -(x_{1} + 2\,x_{2} - 3) = 0.

Passo 3

Do primeiro sistema temos \lambda = 2\,x_{1} + x_{2}.
Substituindo na segunda equação:
x_{1} + 2\,x_{2} = 2\,(2\,x_{1} + x_{2}) \;\Longrightarrow\; x_{1} + 2\,x_{2} = 4\,x_{1} + 2\,x_{2} \;\Longrightarrow\; 3\,x_{1} = 0 \;\Longrightarrow\; x_{1} = 0.
Da restrição x_{1} + 2\,x_{2} = 3 segue
2\,x_{2} = 3 \;\Longrightarrow\; x_{2} = \tfrac{3}{2}.
Logo o ponto candidato é (x_{1},x_{2}) = \bigl(0,\tfrac{3}{2}\bigr).

Passo 4

A matriz Hessiana de f é
H = \begin{pmatrix} 2 & 1\\[6pt] 1 & 2 \end{pmatrix},
que é definida positiva (autovalores 3 e 1 positivos). Isso diz que f é estritamente convexa e, sobre a reta de restrição, esse ponto é um mínimo global. Não há máximo (pois f\to+\infty ao longo da reta).]

Passo 5

Para visualizar em MATLAB, podemos usar este código:
% Define grade de pontos
[x1,x2] = meshgrid(-1:0.1:4,-1:0.1:4);
f = x1.^\(2+\) x1.*x\(2+\) x2.^2;

% Desenha a superfície de f
figure; surf(x1,x2,f,'EdgeColor','none'); hold on

% Desenha a reta de restrição
t = -1:0.1:4;
\(x_line\) = t;
\(y_line\) = (3 - t)/2;
\(z_line\) = \(x_line\).^\(2+ x_line\).*\(y_line\) + \(y_line\).^2;
plot3(\(x_line\),\(y_line\),\(z_line\),'r','LineWidth',2)

% Marca o ponto extremo
plot3(0,1.5,9/4,'ko','MarkerSize',8,'MarkerFaceColor','k')

xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('f(x_1,x_2)')
title('Superfície de f e reta de restrição')
hold off
Esse gráfico mostra as curvas de nível (ou superfície) de f, a reta x_{1}+2x_{2}=3 em vermelho e marca o mínimo em preto.

Resposta

O único extremo sob a restrição é um mínimo global em
(x_{1},x_{2}) = \Bigl(0,\tfrac{3}{2}\Bigr),
com valor
f\bigl(0,\tfrac{3}{2}\bigr) = \tfrac{9}{4}.

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