Determine os pontos extremos da função
sujeita à restrição:
. Faça o gráfico da função, da restrição e indique o(s) ponto(s) extremos (Use MATLAB para os gráficos da função objetivo e restrição). Use o método de multiplicadores de Lagrange.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os pontos extremos de
sujeito à restrição linear
Vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange, que serve para otimizar funções com restrições.
Passo 2
Construímos o Lagrangeano
As condições de primeira ordem são
Passo 3
Do primeiro sistema temos
.
Substituindo na segunda equação:
Substituindo na segunda equação:
Da restrição
segue
Logo o ponto candidato é
.
Passo 4
A matriz Hessiana de
é
que é definida positiva (autovalores
e
positivos). Isso diz que
é estritamente convexa e, sobre a reta de restrição, esse ponto é um mínimo global. Não há máximo (pois
ao longo da reta).]
Passo 5
Para visualizar em MATLAB, podemos usar este código:
% Define grade de pontos
[x1,x2] = meshgrid(-1:0.1:4,-1:0.1:4);
f = x1.^\(2+\) x1.*x\(2+\) x2.^2;
% Desenha a superfície de f
figure; surf(x1,x2,f,'EdgeColor','none'); hold on
% Desenha a reta de restrição
t = -1:0.1:4;
\(x_line\) = t;
\(y_line\) = (3 - t)/2;
\(z_line\) = \(x_line\).^\(2+ x_line\).*\(y_line\) + \(y_line\).^2;
plot3(\(x_line\),\(y_line\),\(z_line\),'r','LineWidth',2)
% Marca o ponto extremo
plot3(0,1.5,9/4,'ko','MarkerSize',8,'MarkerFaceColor','k')
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('f(x_1,x_2)')
title('Superfície de f e reta de restrição')
hold off
Esse gráfico mostra as curvas de nível (ou superfície) de
, a reta
em vermelho e marca o mínimo em preto.
Resposta
O único extremo sob a restrição é um mínimo global em
com valor