Encontre valores máximo e mínimo absolutos da função f(x, y)=4 x^{2} y-x^{2} y^{2}-x y^{3} sobre a região triangular no primeiro quadrante com vértices nos pontos (0,0),(6,0) e (0,6).

Passo 1

O enunciado pede os extremos absolutos de
f(x,y)=4x^2y - x^2y^2 - xy^3
sobre o triângulo \{(x,y)\mid x\ge0,\;y\ge0,\;x+y\le6\}. Isso é um problema de máximo e mínimo de função de duas variáveis em região fechada e limitada. Como f é contínua, os extremos absolutos ocorrem em pontos críticos no interior ou em pontos da fronteira.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais e o gradiente:
\frac{\partial f}{\partial x} =8xy -2xy^2 -y^3 =y\,(8x -2xy -y^2),
\frac{\partial f}{\partial y} =4x^2 -2x^2y -3xy^2 =x\,(4x -2xy -3y^2).

Passo 3

Para pontos críticos internos precisamos de \frac{\partial f}{\partial x}=0 e \frac{\partial f}{\partial y}=0 com x>0,y>0,x+y<6.
Isto exige
8x -2xy -y^2=0 \quad\text{e}\quad 4x -2xy -3y^2=0.
Subtraindo-as obtém-se 4x+2y^2=0, o que não admite solução com x,y>0. Logo não há ponto crítico dentro da região.

Passo 4

Analisamos as arestas:
  1. y=0,\\\ 0\le x\le6:
    \;f(x,0)=0. 2. x=0,\\\ 0\le y\le6:
    \;f(0,y)=0. 3. x+y=6,\\\ 0\le y\le6. Aqui x=6-y. Definimos
g(y)=f(6-y,y) =144y -84y^2 +10y^3, \quad 0\le y\le6.

Passo 5

Calculamos g'(y) e achamos os críticos em [0,6]:
g'(y)=144 -168y +30y^2 =0 \quad\Longrightarrow\quad 5y^2-28y+24=0,
cuja solução é
y_{1}=\frac{14-2\sqrt{19}}{5}\approx1{,}056, \quad y_{2}=\frac{14+2\sqrt{19}}{5}\approx4{,}544.

Passo 6

Avaliações de g nos pontos críticos e extremos de [0,6]:
g(0)=0,\quad g(6)=0,
g\bigl(y_{1}\bigr)\approx70{,}11, \quad g\bigl(y_{2}\bigr)\approx-140{,}68.
Os pontos correspondentes na aresta são \bigl(x_{1},y_{1}\bigr)=\bigl(6-y_{1},y_{1}\bigr)
e \bigl(x_{2},y_{2}\bigr)=\bigl(6-y_{2},y_{2}\bigr).

Passo 7

Comparando todos os valores 0, 70{,}11, -140{,}68, o máximo absoluto é aproximadamente 70{,}11 em \bigl(x_{1},y_{1}\bigr)\approx(4{,}944,1{,}056),
e o mínimo absoluto é aproximadamente -140{,}68 em \bigl(x_{2},y_{2}\bigr)\approx(1{,}456,4{,}544).

Resposta

O valor máximo absoluto é
f_{\max}\approx70{,}11 \quad\text{em}\quad (x,y)\approx(4{,}944,\,1{,}056).
O valor mínimo absoluto é
f_{\min}\approx-140{,}68 \quad\text{em}\quad (x,y)\approx(1{,}456,\,4{,}544).

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