Encontre valores máximo e mínimo absolutos da função
sobre a região triangular no primeiro quadrante com vértices nos pontos
e
.
Passo 1
O enunciado pede os extremos absolutos de
sobre o triângulo
. Isso é um problema de máximo e mínimo de função de duas variáveis em região fechada e limitada. Como
é contínua, os extremos absolutos ocorrem em pontos críticos no interior ou em pontos da fronteira.
Passo 2
Calculemos as derivadas parciais e o gradiente:
Passo 3
Para pontos críticos internos precisamos de
e
com
.
Isto exige
Isto exige
Subtraindo-as obtém-se
, o que não admite solução com
. Logo não há ponto crítico dentro da região.
Passo 4
Analisamos as arestas:
-
:
2. :
3. . Aqui . Definimos
Passo 5
Calculamos
e achamos os críticos em
:
cuja solução é
Passo 6
Avaliações de
nos pontos críticos e extremos de
:
Os pontos correspondentes na aresta são
e .
e
Passo 7
Comparando todos os valores
,
,
, o máximo absoluto é aproximadamente
em
,
e o mínimo absoluto é aproximadamente em
.
e o mínimo absoluto é aproximadamente
Resposta
O valor máximo absoluto é
O valor mínimo absoluto é