Encontre os valores máximo e mínimo da função f(x, y)=x y sobre a elipse x^{2}+4 y^{2}=16.

Passo 1

O enunciado pede os valores máximo e mínimo da função
f(x,y)=x\,y
sujeita à restrição
x^{2}+4y^{2}=16.
O conteúdo é otimização com restrição em curvas (elipse). Vamos usar parametrização da elipse, que é mais direto do que multiplicadores de Lagrange.

Passo 2

Uma parametrização padrão da elipse
\frac{x^{2}}{4^{2}}+\frac{y^{2}}{2^{2}}=1
é
x=4\cos t,\quad y=2\sin t,
com t\in[0,2\pi). Substituímos na função f.

Passo 3

Substituindo, obtemos
f(t)=x\,y=(4\cos t)\,(2\sin t)=8\cos t\sin t=4\sin(2t).

Passo 4

Para achar extremos de f(t)=4\sin(2t), calculamos a derivada:
f'(t)=4\cdot2\cos(2t)=8\cos(2t).
Igualando a zero:
\cos(2t)=0\implies 2t=\frac{\pi}{2}+k\pi\implies t=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}.
Nesses valores, \sin(2t)=\pm1, logo
f_{\max}=4\cdot1=4,\qquad f_{\min}=4\cdot(-1)=-4.

Passo 5

Os pontos onde \sin(2t)=1 são t=\pi/4 e t=5\pi/4, dando
(x,y)=(2\sqrt2,\;\sqrt2)\quad\text{e}\quad(x,y)=(-2\sqrt2,\;-\,\sqrt2),
com f=4.
Os pontos onde \sin(2t)=-1 são t=3\pi/4 e t=7\pi/4, dando
(x,y)=(-2\sqrt2,\;\sqrt2)\quad\text{e}\quad(x,y)=(2\sqrt2,\;-\,\sqrt2),
com f=-4.

Resposta

O valor máximo de f na elipse é 4 e o valor mínimo é -4.

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