Encontre os valores máximo e mínimo da função
sobre a elipse
.
Passo 1
O enunciado pede os valores máximo e mínimo da função
sujeita à restrição
O conteúdo é otimização com restrição em curvas (elipse). Vamos usar parametrização da elipse, que é mais direto do que multiplicadores de Lagrange.
Passo 2
Uma parametrização padrão da elipse
é
com
. Substituímos na função
.
Passo 3
Substituindo, obtemos
Passo 4
Para achar extremos de
, calculamos a derivada:
Igualando a zero:
Nesses valores,
, logo
Passo 5
Os pontos onde
são
e
, dando
com
.
Os pontos onde são
e
, dando
Os pontos onde
com
.
Resposta
O valor máximo de
na elipse é
e o valor mínimo é
.