Determine os pontos extremos das funções seguintes:
f(x, y)=x^2+24 x y+8 y^2 na região x^2+y^2 <= 25;

Passo 1

O enunciado pede para achar os pontos de máximo e mínimo da função
f(x,y)=x^2+24xy+8y^2
no disco fechado definido por
x^2+y^2<=25
O conteúdo utilizado será: busca de pontos críticos no interior (∇f=0) e análise na fronteira via multiplicadores de Lagrange.

Passo 2

Procuramos pontos críticos no interior, resolvendo
partial fpartial x=2x+24y=0,
partial fpartial y=24x+16y=0
Da primeira vem x+12y=0 e da segunda 3x+2y=0. A única solução é x=0, y=0. Como o Hessiano
H=2&2424&16
tem determinante 2cdot16-24^2=-544<0, o ponto (0,0) é sela e não é extremo.

Passo 3

Na fronteira x^2+y^2=25 usamos multiplicadores de Lagrange. Definimos
g(x,y)=x^2+y^2,
e impomos
nabla f=lambda,nabla g Longrightarrow (2x+24y,;24x+16y)=lambda,(2x,2y)
Isso gera o sistema
x+12y=lambda x, 12x+8y=lambda y, x^2+y^2=25
Como xneq0 e yneq0 nas soluções não-triviais, dividimos e obtemos a equação para t=y/x:
12t^2-7t-12=0 Longrightarrow tinltfrac43,-tfrac34r

Passo 4

Para t=4/3 temos 1+t^2=25/9, logo x^2=9 e x=pm3, y=t,x=pm4. Os pontos são
(3,4) e (-3,-4), em que
f(3,4)=9+24cdot3cdot4+8cdot16=425
Para t=-3/4 temos 1+t^2=25/16, logo x^2=16 e x=pm4, y=t,x=mp3. Os pontos são
(4,-3) e (-4,3), em que
f(4,-3)=16+24cdot4cdot(-3)+8cdot9=-200

Resposta

Os máximos ocorrem em (3,4) e (-3,-4) com valor 425.
Os mínimos ocorrem em (4,-3) e (-4,3) com valor -200.

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