Determine os pontos extremos das funções seguintes:
na região
;
Passo 1
O enunciado pede para achar os pontos de máximo e mínimo da função
no disco fechado definido por
O conteúdo utilizado será: busca de pontos críticos no interior (∇f=0) e análise na fronteira via multiplicadores de Lagrange.
Passo 2
Procuramos pontos críticos no interior, resolvendo
Da primeira vem
e da segunda
. A única solução é
,
. Como o Hessiano
tem determinante
, o ponto
é sela e não é extremo.
Passo 3
Na fronteira
usamos multiplicadores de Lagrange. Definimos
e impomos
Isso gera o sistema
Como
e
nas soluções não-triviais, dividimos e obtemos a equação para
:
Passo 4
Para
temos
, logo
e
,
. Os pontos são
e
, em que
Para
temos
, logo
e
,
. Os pontos são
e
, em que
Resposta
Os máximos ocorrem em
e
com valor
.
Os mínimos ocorrem em e
com valor
.
Os mínimos ocorrem em